Obtenha a derivada das seguintes funções.
(y=\frac{x^{2}-2 x+1}{1-x^{4}}\

Passo 1

Estamos com a função y dada por uma fração y = x^2-2x+11 - x^4. O conteúdo envolve derivação de uma função do tipo quociente e vamos precisar usar a regra do quociente, além de calcular derivadas de polinômios simples.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares para aplicar a regra do quociente: seja u(x) = x^2-2x+1 e v(x) = 1 - x^4. A regra do quociente diz:
y' = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)[v(x)]^2
Calculamos as derivadas de u e v:
- u'(x) = 2x - 2
- v'(x) = -4x^3

Passo 3

Substituímos na fórmula da regra do quociente:
y' = (2x - 2)(1 - x^4) - (x^2-2x+1)(-4x^3)(1 - x^4)^2
Agora expandimos e combinamos termos no numerador:
1. (2x - 2)(1 - x^4) = 2x - 2 - 2x^5 + 2x^4
2. 4x^3(x^2-2x+1) = 4x^5 - 8x^4 + 4x^3
Somando-os temos:
2x - 2 - 2x^5 + 2x^4 + 4x^5 - 8x^4 + 4x^3 = 2x^5 - 6x^4 + 4x^3 + 2x - 2

Passo 4

Portanto, a derivada fica:
y' = 2x^5 - 6x^4 + 4x^3 + 2x - 2(1 - x^4)^2

Resposta

y' = 2x^5 - 6x^4 + 4x^3 + 2x - 2(1 - x^4)^2

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