Nos itens a seguir calcule a integral ao longo da curva gamma, nos dois sentidos de percurso.
(b) integralgamma y d x+(x+y) d y onde gamma é o gráfico de y=x^2+2 x entre (0,0) e (2,8)

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de linha integralgamma y,dx + (x+y),dy ao longo da curva gamma definida pelo gráfico de y = x^2 + 2x entre os pontos (0,0) e (2,8). O conteúdo envolvido é integral de linha de forma diferencial e vamos usar o fato de que, se a forma é exata, podemos achar uma função potencial para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro verificamos se a forma diferencial omega = y,dx + (x+y),dy é exata. Calculamos: partial P/partial y = partial(y)/partial y = 1 e partial Q/partial x = partial(x+y)/partial x = 1. Como são iguais, existe uma função potencial phi(x,y) tal que phix = y e phiy = x+y. Integrando phix = y em relação a x obtemos phi(x,y)=xy + h(y). Derivando em relação a y e igualando a x+y phiy = x + h'(y) = x + y, de onde h'(y)=y e assim h(y)=y^2/2 + C. Logo
Reunindo, a função potencial é phi(x,y)=xy + tfracy^22. Então a integral de linha no sentido de (0,0) até (2,8) é dada por phi(2,8)-phi(0,0). Calculamos:
phi(2,8)=2cdot8 + 8^22=16 + 32 = 48, phi(0,0)=0

Passo 3

Portanto, no sentido de (0,0) para (2,8) o valor da integral é 48. Como inverter o sentido muda apenas o sinal, no percurso inverso o valor é -48.

Resposta

No sentido de (0,0) até (2,8): 48; no sentido inverso: -48.

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