Nos itens a seguir calcule a integral ao longo da curva
, nos dois sentidos de percurso.
(b)
onde
é o gráfico de
entre
e
(b)
Passo 1
A questão pede para calcular a integral de linha
ao longo da curva
definida pelo gráfico de
entre os pontos
e
. O conteúdo envolvido é integral de linha de forma diferencial e vamos usar o fato de que, se a forma é exata, podemos achar uma função potencial para simplificar o cálculo.
Passo 2
Primeiro verificamos se a forma diferencial
é exata. Calculamos:
e
. Como são iguais, existe uma função potencial
tal que
e
. Integrando
em relação a
obtemos
. Derivando em relação a
e igualando a
dá
, de onde
e assim
. Logo
Reunindo, a função potencial é . Então a integral de linha no sentido de
até
é dada por
. Calculamos:
Reunindo, a função potencial é
Passo 3
Portanto, no sentido de
para
o valor da integral é
. Como inverter o sentido muda apenas o sinal, no percurso inverso o valor é
.
Resposta
No sentido de (0,0) até (2,8): 48; no sentido inverso: -48.