- Esboce e determine a área delimitada pelos traçados das curvas
e
. (6 pontos)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) esboçar e (ii) determinar a área delimitada pelas curvas
e
.
Dados relevantes fornecidos pelo enunciado: as duas funções explícitas
Dados relevantes fornecidos pelo enunciado: as duas funções explícitas
e
Também foi apresentada a integral
que parece ser o valor final da área (vou confirmar esse cálculo passo a passo).
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar os pontos de interseção das curvas (esses pontos vão ser os limites em
para a região limitada). Igualamos as duas expressões de
:
Passo a passo do ajuste algébrico: subtraindo
dos dois lados,
Multiplicando por
para facilitar,
Essa quadrática fatoriza-se como
logo as raízes são
e
. Esses são os valores de
onde as curvas se cruzam.
Passo 3
Agora obtemos as coordenadas
desses pontos usando a reta (mais simples): para
,
portanto ponto
. Para
,
portanto ponto
. (Podemos verificar que
também é o vértice da parábola, como veremos em seguida.)
Passo 4
Antes de integrar, precisamos saber qual curva está acima (top) e qual está abaixo (bottom) no intervalo
. Escolhemos um ponto teste, por exemplo
:
Como
, a parábola
, está acima da reta
, nesse intervalo. Portanto a área entre as curvas é dada pela integral em
do topo menos o fundo:
Passo 5
Escrevendo explicitamente a integranda:
Fazendo a subtração dentro dos colchetes:
Logo
Passo 6
Agora integramos termo a termo. Uma primitiva de
é
porque
,
e
.
Passo 7
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliamos
em
e em
e subtraímos
.
Calcule
:
Colocando em denominador comum
:
Calcule
:
Passo 8
Subtraindo:
Escrevendo
,
Portanto a área é
. Isso confirma a integral fornecida no enunciado.
Passo 9
Como esboçar a região (instruções para desenhar à mão, passo a passo):
- Desenhe os eixos
e . - Desenhe a reta
: intercepto em , inclinação (suba 3 unidades para cada 1 à direita). Marque os pontos de interseção e já calculados. - Desenhe a parábola
: é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de negativo). O vértice está em , com — então o vértice é . Marque alguns pontos adicionais (por exemplo em , ) para garantir a forma. - A região limitada é a “fatia” entre essas duas curvas desde
até , com a parábola acima da reta. Sombras ou tracejado entre as curvas no intervalo indicado mostram claramente a área calculada.