1. Esboce e determine a área delimitada pelos traçados das curvas \boldsymbol{y}=-\boldsymbol{x}^{\mathbf{2}}+\mathbf{2 x}+\mathbf{3} e \boldsymbol{y}=\mathbf{3 x}+\mathbf{1}. (6 pontos)
\int_{-2}^{1} \int_{3 x+1}^{-x^{2}+2 x+3} d y d x=\frac{9}{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) esboçar e (ii) determinar a área delimitada pelas curvas y=-x^{2}+2x+3 e y=3x+1.
Dados relevantes fornecidos pelo enunciado: as duas funções explícitas
y=-x^{2}+2x+3
e
y=3x+1.
Também foi apresentada a integral
\int_{-2}^{1} \int_{3x+1}^{-x^{2}+2x+3} dy\,dx=\frac{9}{2},
que parece ser o valor final da área (vou confirmar esse cálculo passo a passo).

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar os pontos de interseção das curvas (esses pontos vão ser os limites em x para a região limitada). Igualamos as duas expressões de y:
-x^{2}+2x+3 = 3x+1.
Passo a passo do ajuste algébrico: subtraindo 3x+1 dos dois lados,
-x^{2}+2x+3 - (3x+1)=0,
-x^{2}+2x+3-3x-1=0,
-x^{2}-x+2=0.
Multiplicando por -1 para facilitar,
x^{2}+x-2=0.
Essa quadrática fatoriza-se como
(x+2)(x-1)=0,
logo as raízes são x=-2 e x=1. Esses são os valores de x onde as curvas se cruzam.

Passo 3

Agora obtemos as coordenadas y desses pontos usando a reta (mais simples): para x=-2,
y=3(-2)+1=-6+1=-5,
portanto ponto (-2,-5). Para x=1,
y=3(1)+1=4,
portanto ponto (1,4). (Podemos verificar que x=1 também é o vértice da parábola, como veremos em seguida.)

Passo 4

Antes de integrar, precisamos saber qual curva está acima (top) e qual está abaixo (bottom) no intervalo x\in[-2,1]. Escolhemos um ponto teste, por exemplo x=0:
\text{parábola em }0:\; y=-0^{2}+2\cdot0+3=3,á
\text{reta em }0:\; y=3\cdot0+1=1.
Como 3>1, a parábola \,y=-x^{2}+2x+3, está acima da reta \,y=3x+1, nesse intervalo. Portanto a área entre as curvas é dada pela integral em x do topo menos o fundo:
\text{Área}=\int_{x=-2}^{x=1}\big(\text{parábola} - \text{reta}\big)\,dx.Áá

Passo 5

Escrevendo explicitamente a integranda:
\text{Área}=\int_{-2}^{1}\big[(-x^{2}+2x+3)-(3x+1)\big]dx.Á
Fazendo a subtração dentro dos colchetes:
(-x^{2}+2x+3)-(3x+1) = -x^{2}+2x+3-3x-1 = -x^{2}-x+2.
Logo
\text{Área}=\int_{-2}^{1}(-x^{2}-x+2)\,dx.Á

Passo 6

Agora integramos termo a termo. Uma primitiva de -x^{2}-x+2 é
F(x) = -\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 2x,
porque \dfrac{d}{dx}\big(-\dfrac{x^{3}}{3}\big)=-x^{2}, \dfrac{d}{dx}\big(-\dfrac{x^{2}}{2}\big)=-x e \dfrac{d}{dx}(2x)=2.

Passo 7

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliamos F em 1 e em -2 e subtraímos F(1)-F(-2).
Calcule F(1):
F(1) = -\frac{1^{3}}{3} - \frac{1^{2}}{2} + 2\cdot1 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2.
Colocando em denominador comum 6:
-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 = -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} = \frac{7}{6}.
Calcule F(-2):
F(-2) = -\frac{(-2)^{3}}{3} - \frac{(-2)^{2}}{2} + 2(-2) = -\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} -4 = \frac{8}{3} -2 -4.
\frac{8}{3} -6 = \frac{8-18}{3} = -\frac{10}{3}.

Passo 8

Subtraindo:
\text{Área} = F(1)-F(-2) = \frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3}.Á
Escrevendo \dfrac{10}{3}=\dfrac{20}{6},
\frac{7}{6}+\frac{20}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}.
Portanto a área é \dfrac{9}{2}. Isso confirma a integral fornecida no enunciado.

Passo 9

Como esboçar a região (instruções para desenhar à mão, passo a passo):
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Desenhe a reta y=3x+1: intercepto em y=1, inclinação 3 (suba 3 unidades para cada 1 à direita). Marque os pontos de interseção (-2,-5) e (1,4) já calculados.
  • Desenhe a parábola y=-x^{2}+2x+3: é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de x^{2} negativo). O vértice está em x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-2}{2(-1)}=1, com y(1)=4 — então o vértice é (1,4). Marque alguns pontos adicionais (por exemplo em x=0, y=3) para garantir a forma.
  • A região limitada é a “fatia” entre essas duas curvas desde x=-2 até x=1, com a parábola acima da reta. Sombras ou tracejado entre as curvas no intervalo indicado mostram claramente a área calculada.

Resposta

\dfrac{9}{2}

Exercícios relacionados