1. Esboce e determine a área delimitada pelos traçados das curvas \mathbf{y = x + 1} e \mathbf{y = x ^ { 2 } - 2 x - 3}. (6 pontos)

Passo 1

O enunciado dá duas curvas: y = x + 1 e y = x^{2} - 2x - 3. Pede para esboçar (ou seja, imaginar/visualizar) e determinar a área limitada pelos traçados dessas duas curvas. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • As duas funções explícitas são y = x + 1 (uma reta) e y = x^{2} - 2x - 3 (uma parábola).
  • A região limitada será o conjunto de pontos entre as duas curvas onde elas se intersectam.
    Nada mais foi fornecido — a tarefa é achar os pontos de interseção, ver qual curva fica acima entre esses pontos e integrar a diferença para obter a área.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção: igualamos as expressões de y:
x+1 = x^{2} - 2x - 3
Passando tudo para um lado:
0 = x^{2} - 3x - 4
Resolvemos a quadrática usando fatoração ou fórmula de Bhaskara. A fatoração é imediata porque (x-4)(x+1)=x^{2}-3x-4. Assim as raízes são:
x = 4 \quad \text{e} \quad x = -1.
Portanto as curvas se intersectam em x=-1 e x=4.

Passo 3

Determinar qual curva está acima entre x=-1 e x=4. Calculamos a diferença
(x+1) - (x^{2}-2x-3) = -x^{2}+3x+4.
Observando que -x^{2}+3x+4 = -(x-4)(x+1), essa expressão é positiva para x entre -1 e 4. Também podemos testar um ponto simples, por exemplo x=0: y_{\text{reta}}=0+1=1 e y_{\text{parábola}}=0-0-3=-3á, logo a reta está acima da parábola. Conclusão: para x\in[-1,4] temos y_{\text{reta}}\ge y_{\text{parábola}}á.

Passo 4

Fórmula para a área entre duas curvas (explicação didática): se duas curvas y=u(x) (acima) e y=v(x) (abaixo) se intersectam em x=a e x=b, a área entre elas é
\text{Área}=\int_{a}^{b} \big(u(x)-v(x)\big)\,dx.Á
Aqui u(x)=x+1 e v(x)=x^{2}-2x-3, com a=-1 e b=4. Então montamos a integral:
\text{Área}=\int_{-1}^{4} \big( (x+1) - (x^{2}-2x-3)\big)\,dx.Á

Passo 5

Simplificar o integrando antes de integrar:
(x+1) - (x^{2}-2x-3) = -x^{2}+3x+4.
Portanto precisamos calcular
\int_{-1}^{4} \big(-x^{2}+3x+4\big)\,dx.
Explicação da integral termo a termo: a integral de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Para constantes, \int c\,dx = cx. Para cada coeficiente multiplicamos pela primitiva correspondente.

Passo 6

Calcular a primitiva (antiderivada) do integrando termo a termo:
\int \big(-x^{2}+3x+4\big)\,dx = -\frac{x^{3}}{3} + \frac{3x^{2}}{2} + 4x + C.
Denotamos a primitiva por
F(x) = -\frac{x^{3}}{3} + \frac{3x^{2}}{2} + 4x.

Passo 7

Avaliar a integral definida usando F(4)-F(-1). Primeiro F(4):
F(4) = -\frac{4^{3}}{3} + \frac{3\cdot 4^{2}}{2} + 4\cdot 4 = -\frac{64}{3} + \frac{3\cdot 16}{2} + 16 = -\frac{64}{3} + 24 + 16.
Somando 24+16=40, então
F(4) = -\frac{64}{3} + 40 = \frac{-64 + 120}{3} = \frac{56}{3}.
Agora F(-1):
F(-1) = -\frac{(-1)^{3}}{3} + \frac{3\cdot (-1)^{2}}{2} + 4\cdot (-1) = -\left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{3}{2} -4 = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} -4.
Colocando em denominador comum 6: \frac{2}{6}+\frac{9}{6}-\frac{24}{6}=\frac{-13}{6}. Então
F(-1)= -\frac{13}{6}.
Assim a área é
\text{Área}=F(4)-F(-1)=\frac{56}{3} - \left(-\frac{13}{6}\right)=\frac{56}{3}+\frac{13}{6}.Á
Colocando em denominador comum 6: \frac{112}{6}+\frac{13}{6}=\frac{125}{6}.

Passo 8

Interpretação final e esboço mental: a parábola y=x^{2}-2x-3 abre para cima, tem vértice em x=1 com valor y=-4 (ou seja, um vale), e a reta y=x+1 cruza essa parábola em x=-1 e x=4 ficando acima dela entre esses pontos. A região limitada é “bojo” entre a reta e a parábola, com área \dfrac{125}{6}. Força aí — isso resolve a questão!

Resposta

\dfrac{125}{6}

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