- Esboce e determine a área delimitada pelos traçados das curvas
e
. (6 pontos)
Passo 1
O enunciado dá duas curvas:
e
. Pede para esboçar (ou seja, imaginar/visualizar) e determinar a área limitada pelos traçados dessas duas curvas. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- As duas funções explícitas são
(uma reta) e (uma parábola). - A região limitada será o conjunto de pontos entre as duas curvas onde elas se intersectam.
Nada mais foi fornecido — a tarefa é achar os pontos de interseção, ver qual curva fica acima entre esses pontos e integrar a diferença para obter a área.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção: igualamos as expressões de
:
Passando tudo para um lado:
Resolvemos a quadrática usando fatoração ou fórmula de Bhaskara. A fatoração é imediata porque
. Assim as raízes são:
Portanto as curvas se intersectam em
e
.
Passo 3
Determinar qual curva está acima entre
e
. Calculamos a diferença
Observando que
, essa expressão é positiva para
entre
e
. Também podemos testar um ponto simples, por exemplo
:
e
, logo a reta está acima da parábola. Conclusão: para
temos
.
Passo 4
Fórmula para a área entre duas curvas (explicação didática): se duas curvas
(acima) e
(abaixo) se intersectam em
e
, a área entre elas é
Aqui
e
, com
e
. Então montamos a integral:
Passo 5
Simplificar o integrando antes de integrar:
Portanto precisamos calcular
Explicação da integral termo a termo: a integral de
é
. Para constantes,
. Para cada coeficiente multiplicamos pela primitiva correspondente.
Passo 6
Calcular a primitiva (antiderivada) do integrando termo a termo:
Denotamos a primitiva por
Passo 7
Avaliar a integral definida usando
. Primeiro
:
Somando
, então
Agora
:
Colocando em denominador comum
:
. Então
Assim a área é
Colocando em denominador comum
:
.
Passo 8
Interpretação final e esboço mental: a parábola
abre para cima, tem vértice em
com valor
(ou seja, um vale), e a reta
cruza essa parábola em
e
ficando acima dela entre esses pontos. A região limitada é “bojo” entre a reta e a parábola, com área
. Força aí — isso resolve a questão!