Esboce o Diagrama de Bode para as funções de transferência abaixo, sendo
.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede para esboçar o Diagrama de Bode (magnitude e fase), considerando
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função de transferência
está explicitada acima. - A variável de interesse para o Bode é
(ou seja, frequência real e positiva). - O objetivo é obter as curvas de magnitude (em dB) e de fase (em graus) versus
(escala logaritmica).
Passo 2
Simplificar a função de transferência antes de qualquer coisa: observo que o fator
aparece no numerador e no denominador, então ele se cancela (cancelamento exato). Portanto,
Comentário importante (didático e prático): esse cancelamento é exato algebraicamente. Em diagramas de Bode, um zero e um polo exatamente coincidentes anulariam um ao outro — não haverá canto em
rad/s na resposta final. Porém, se na prática houver pequena diferença numérica entre os fatores, pode aparecer uma pequena marcação próxima a
. Aqui, assumimos cancelamento perfeito.
Passo 3
Substituir
para obter a resposta em frequência:
Agora calculo magnitude e fase explicitamente.
Magnitude:
Fase: o número real
tem fase
;
tem fase
(porque
), e como está no denominador a fase é negativa:
Portanto a fase é constante igual a
para todas as
.
Passo 4
Converter a magnitude para decibéis (fórmula e interpretação):
A fórmula para passar para dB é . Então
A fórmula para passar para dB é
Calculo
:
Logo a expressão em dB é
Interpretação prática: é uma reta com declive
ao longo do eixo logaritmo de
. Não há ganho de pico nem canto em
por causa do cancelamento.
Passo 5
Pontos de referência para esboço — calculemos alguns valores úteis (peguei os valores calculando a expressão
):
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Esses pontos estão sobre a reta com inclinação
dB/dec, que é a assimptota do Bode magnitude aqui (e é exatamente a curva real, porque não há cantos remanescentes).
A fase será constante:
- Para qualquer
: .
Passo 6
Instruções práticas para desenhar o esboço de Bode (passo a passo que você pode reproduzir na prova):
- Desenhe o eixo horizontal logarítmico em
(por exemplo, marque décadas: ). - No gráfico de magnitude (dB) marque os pontos calculados: em
a altura dB; em marque dB; em marque dB; em marque dB. - Ligue esses pontos com uma reta de inclinação
. Essa reta é a resposta exata aqui. - No gráfico de fase, faça uma linha horizontal constante em
para todas as . - Anote que não há canto em
porque o zero e o polo em se cancelaram exatamente.
Dica prática para provas: use
como ponto de referência, porque a expressão em dB ficou simples:
dB em
, e a cada década para a direita subtrai
dB; cada década para a esquerda soma
dB.
Passo 7
Observação final de entendimento (motivação e cuidado): o comportamento aqui é exatamente o de um integrador com ganho estático
, isto é,
. Integradors têm magnitude decrescente com
e fase
. Se, em uma situação real, o cancelamento fosse aproximado (por erro de modelagem), poderia aparecer um pequeno desvio ao redor de
, mas na questão dada o cancelamento é exato.
Resposta
Valores de referência:
,
,
,
.