Esboce o diagrama de Bode do sistema
Passo 1
O enunciado pede: “Esboce o diagrama de Bode do sistema” dado por
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função de transferência é
. - Queremos o diagrama de Bode (módulo em dB e fase em graus) como função da frequência
(usar ). - Não há figuras adicionais: o pedido é um esboço e, portanto, a resposta deve indicar polos, zeros, frequências de canto, assimptotas de magnitude e comportamento da fase.
Passo 2
Fatoração e identificação de polos/zeros ( passo essencial para fazer o Bode ).
Primeiro fatoramos :
Primeiro fatoramos
Agora identificamos:
- Zero em
(ou frequência de canto rad/s). - Pólo em
(pólo na origem → integrador). - Pólo em
(ou frequência de canto rad/s).
Também há um ganho constante multiplicativo.
Explicação didática mínima: fatorar significa escrever numerador e denominador como produto de termos do tipo; cada fator dá um zero em (se no numerador) ou um pólo em (se no denominador). O termo (pólo na origem) corresponde a comportamento de integrador.
Passo 3
Expressões para módulo e fase (fórmulas que vamos usar).
Substituindo :
Substituindo
Em dB:
Fase (em graus), escrevendo a contribuição de cada termo:
Usando arctan (em graus):
Explicação:
é o ângulo de
,
, e
é o ângulo de
.
Passo 4
Regras de contribuição de polos/zeros para o esboço assimptótico (conceito importante).
- Um zero real simples em
acrescenta +20 dB/dec a partir de (na magnitude assimptótica) e faz a fase subir aproximadamente de até entre uma década abaixo e uma década acima de . - Um pólo real simples em
acrescenta −20 dB/dec a partir de e faz a fase cair aproximadamente de até no mesmo intervalo logarítmico. - Um pólo na origem (integrador) dá uma inclinação de −20 dB/dec em toda a faixa e uma fase constante de
.
Aplicando isso ao nosso sistema: - Pólo em
: contribui dB/dec (para todas as ) e de fase. - Zero em
: contribui dB/dec para e +fase até em torno de . - Pólo em
: contribui dB/dec para e fase decrescente em torno de .
Somando as inclinações: - Para
: apenas o integrador domina → inclinação dB/dec. - Para
: integrador (−20) + zero em 1 (+20) → inclinação dB/dec (plano). - Para
: integrador (−20) + zero ( +20 ) + pólo em 10 (−20) → inclinação final dB/dec.
Passo 5
Determinar as assimptotas de magnitude (expressões simples por faixa) — isso ajuda a desenhar o esboço.
- Para
: aprox. e , logo
Em dB:
- Para
: aprox. e , logo
em dB:
dB (plano).
- Para
: aprox. e , logo
em dB:
(inclinação
dB/dec com offset).
Comentário didático: essas aproximações produzem as linhas reta (assimptóticas) do esboço de magnitude; os desvios reais próximos às frequências de canto são corrigidos pelos pontos exatos que calcularemos a seguir.
Passo 6
Calcule alguns pontos exatos úteis para traçar o esboço (valores numéricos em dB e graus). Vou usar
(cada um uma década de distância aproximada), calculando
e
.
Fórmulas recolocadas:
Cálculos (arredondados):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Interpretação didática: observe o “bump” de fase — a fase sobe de
para cerca de
entre as frequências de canto
e
, e volta para
em altas frequências. Na magnitude, vemos que a região intermediária fica aproximadamente plana em
dB (assimptoticamente), enquanto antes de
a inclinação é
dB/dec e depois de
volta a
dB/dec.
Passo 7
Como construir o esboço (orientação prática para desenhar na prova — passo-a-passo):
- Marque o eixo logarítmico de frequência e desenhe linhas verticais em
e (frequências de canto). - Desenhe a assimptota de baixa frequência (
) como uma reta com inclinação dB/dec (linha de integrador). Uma forma simples: use a expressão . - Em
acrescente a contribuição do zero: a inclinação muda adicionando dB/dec, portanto entre e a inclinação total é dB/dec (linha plana). Posicione essa linha plana passando aproximadamente pelo ponto de ; a assimptota plana em dá dB, mas o valor exato em é dB (ver Passo 6) — desenhe a linha plana perto de dB e marque o ponto real em dB como referência. - Em
adicione o pólo em : a inclinação passa para dB/dec novamente. A partir de desenhe a reta com dB/dec. Marque o ponto exato em (≈ dB). - Para a fase: comece em
para ; de uma década abaixo de até uma década acima de faça a transição de fase: a contribuição do zero em eleva a fase (até +90°) enquanto o pólo em abaixa novamente; o resultado líquido é que a fase sobe até cerca de no intervalo médio e volta para para . Use os valores numéricos calculados em como pontos-guia.
Passo 8
Resumo final para o esboço (resultado conciso — o que você deve desenhar):
- Polos/zeros: zero em
, pólos em e . - Frequências de canto:
e . - Inclinações assimptóticas (magnitude, em dB/dec):
-
dB/dec (integrador). -
dB/dec (plano). -
dB/dec.
-
- Valores numéricos de referência (magnitude em dB / fase em graus):
-
- Limites:
quando e também quando . A fase atinge aproximadamente na região entre os cantos.
Resposta
Polos/zeros: zero em
; polos em
e
.\nAssimptotas (magnitude):
inclinação
dB/dec;
inclinação
dB/dec (plano);
inclinação
dB/dec.\nPontos de referência:\n
\n
\n
\n