Esboce o diagrama de Bode do sistema
H(s)=\frac{10 s+10}{s(s+10)}

Passo 1

O enunciado pede: “Esboce o diagrama de Bode do sistema” dado por
H(s)=\frac{10s+10}{s(s+10)}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função de transferência é \displaystyle H(s)=\frac{10s+10}{s(s+10)}.
  • Queremos o diagrama de Bode (módulo em dB e fase em graus) como função da frequência \omega (usar s=j\omega).
  • Não há figuras adicionais: o pedido é um esboço e, portanto, a resposta deve indicar polos, zeros, frequências de canto, assimptotas de magnitude e comportamento da fase.

Passo 2

Fatoração e identificação de polos/zeros ( passo essencial para fazer o Bode ).
Primeiro fatoramos \displaystyle H(s):
H(s)=\frac{10(s+1)}{s(s+10)}.
Agora identificamos:
  • Zero em s=-1 (ou frequência de canto \omega_z=1 rad/s).
  • Pólo em s=0 (pólo na origem → integrador).
  • Pólo em s=-10 (ou frequência de canto \omega_p=10 rad/s).
    Também há um ganho constante multiplicativo 10.
    Explicação didática mínima: fatorar significa escrever numerador e denominador como produto de termos do tipo (s+a); cada fator (s+\omega_0) dá um zero em -\omega_0 (se no numerador) ou um pólo em -\omega_0 (se no denominador). O termo s (pólo na origem) corresponde a comportamento de integrador.

Passo 3

Expressões para módulo e fase (fórmulas que vamos usar).
Substituindo s=j\omega:
|H(j\omega)|=10\frac{\sqrt{1+\omega^2}}{\omega\sqrt{100+\omega^2}}.
Em dB:
20\log_{10}|H(j\omega)|=20\log_{10}10 +10\log_{10}(1+\omega^2) -20\log_{10}\omega -10\log_{10}(100+\omega^2).
Fase (em graus), escrevendo a contribuição de cada termo:
\angle H(j\omega)=\angle(j\omega+1)-\angle(j\omega)-\angle(j\omega+10).
Usando arctan (em graus):
\angle H(j\omega)=\arctan(\omega)-90^\circ-\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right).
Explicação: \arctan(\omega) é o ângulo de 1+j\omega, \angle(j\omega)=+90^\circ, e \arctan(\omega/10) é o ângulo de 10+j\omega.

Passo 4

Regras de contribuição de polos/zeros para o esboço assimptótico (conceito importante).
  • Um zero real simples em \omega=\omega_0 acrescenta +20 dB/dec a partir de \omega_0 (na magnitude assimptótica) e faz a fase subir aproximadamente de 0^\circ até +90^\circ entre uma década abaixo e uma década acima de \omega_0.
  • Um pólo real simples em \omega=\omega_0 acrescenta −20 dB/dec a partir de \omega_0 e faz a fase cair aproximadamente de 0^\circ até -90^\circ no mesmo intervalo logarítmico.
  • Um pólo na origem (integrador) dá uma inclinação de −20 dB/dec em toda a faixa e uma fase constante de -90^\circ.
    Aplicando isso ao nosso sistema:
  • Pólo em 0: contribui -20 dB/dec (para todas as \omega) e -90^\circ de fase.
  • Zero em 1: contribui +20 dB/dec para \omega>1 e +fase até +90^\circ em torno de \omega=1.
  • Pólo em 10: contribui -20 dB/dec para \omega>10 e fase decrescente em torno de \omega=10.
    Somando as inclinações:
  • Para \omega\ll1: apenas o integrador domina → inclinação -20 dB/dec.
  • Para 1\ll\omega\ll10: integrador (−20) + zero em 1 (+20) → inclinação 0 dB/dec (plano).
  • Para \omega\gg10: integrador (−20) + zero ( +20 ) + pólo em 10 (−20) → inclinação final -20 dB/dec.

Passo 5

Determinar as assimptotas de magnitude (expressões simples por faixa) — isso ajuda a desenhar o esboço.
  • Para \omega\ll1: aprox. \sqrt{1+\omega^2}\approx1 e \sqrt{100+\omega^2}\approx10, logo
|H(j\omega)|\approx\frac{10\cdot 1}{\omega\cdot 10}=\frac{1}{\omega}.
Em dB: \;20\log_{10}|H|\approx -20\log_{10}\omega.
  • Para 1\ll\omega\ll10: aprox. \sqrt{1+\omega^2}\approx\omega e \sqrt{100+\omega^2}\approx10, logo
|H(j\omega)|\approx\frac{10\cdot \omega}{\omega\cdot 10}=1,
em dB: 0 dB (plano).
  • Para \omega\gg10: aprox. \sqrt{1+\omega^2}\approx\omega e \sqrt{100+\omega^2}\approx\omega, logo
|H(j\omega)|\approx\frac{10\cdot \omega}{\omega\cdot \omega}=\frac{10}{\omega},
em dB: \;20\log_{10}10 -20\log_{10}\omega =20 -20\log_{10}\omega (inclinação -20 dB/dec com offset).
Comentário didático: essas aproximações produzem as linhas reta (assimptóticas) do esboço de magnitude; os desvios reais próximos às frequências de canto são corrigidos pelos pontos exatos que calcularemos a seguir.

Passo 6

Calcule alguns pontos exatos úteis para traçar o esboço (valores numéricos em dB e graus). Vou usar \omega=0{,}1,\;1,\;10,\;100 (cada um uma década de distância aproximada), calculando |H(j\omega)| e \angle H(j\omega).
Fórmulas recolocadas:
|H(j\omega)|=10\frac{\sqrt{1+\omega^2}}{\omega\sqrt{100+\omega^2}}, \qquad \angle H(j\omega)=\arctan(\omega)-90^\circ-\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right).
Cálculos (arredondados):
  • Para \omega=0{,}1: |H(j0{,}1)|\approx 10{,}049\quad(\text{o que dá})\quad 20\log_{10}|H|\approx 20{,}04\\ \text{dB},á
\angle H(j0{,}1)\approx \arctan(0{,}1)-90^\circ-\arctan(0{,}01)\approx 5{,}71^\circ-90^\circ-0{,}57^\circ\approx -84{,}86^\circ.
  • Para \omega=1: |H(j1)|\approx 1{,}407\quad(\text{o que dá})\quad 20\log_{10}|H|\approx 2{,}96\\ \text{dB},á
\angle H(j1)\approx 45^\circ-90^\circ-5{,}71^\circ\approx -50{,}71^\circ.
  • Para \omega=10: |H(j10)|\approx 0{,}7107\quad(\text{o que dá})\quad 20\log_{10}|H|\approx -2{,}96\\ \text{dB},á
\angle H(j10)\approx 84{,}29^\circ-90^\circ-45^\circ\approx -50{,}71^\circ.
  • Para \omega=100: |H(j100)|\approx 0{,}0995\quad(\text{o que dá})\quad 20\log_{10}|H|\approx -20{,}04\\ \text{dB},á
\angle H(j100)\approx 89{,}43^\circ-90^\circ-84{,}29^\circ\approx -84{,}86^\circ.
Interpretação didática: observe o “bump” de fase — a fase sobe de -90^\circ para cerca de -50{,}7^\circ entre as frequências de canto \omega=1 e \omega=10, e volta para -90^\circ em altas frequências. Na magnitude, vemos que a região intermediária fica aproximadamente plana em 0 dB (assimptoticamente), enquanto antes de \omega=1 a inclinação é -20 dB/dec e depois de \omega=10 volta a -20 dB/dec.

Passo 7

Como construir o esboço (orientação prática para desenhar na prova — passo-a-passo):
  1. Marque o eixo logarítmico de frequência e desenhe linhas verticais em \omega=1 e \omega=10 (frequências de canto).
  2. Desenhe a assimptota de baixa frequência ( \omega\ll1) como uma reta com inclinação -20 dB/dec (linha de integrador). Uma forma simples: use a expressão -20\log_{10}\omega.
  3. Em \omega=1 acrescente a contribuição do zero: a inclinação muda adicionando +20 dB/dec, portanto entre 1 e 10 a inclinação total é 0 dB/dec (linha plana). Posicione essa linha plana passando aproximadamente pelo ponto de \omega=1; a assimptota plana em 1 0 dB, mas o valor exato em \omega=1 é +2{,}96 dB (ver Passo 6) — desenhe a linha plana perto de 0 dB e marque o ponto real em +2{,}96 dB como referência.
  4. Em \omega=10 adicione o pólo em 10: a inclinação passa para -20 dB/dec novamente. A partir de 10 desenhe a reta com -20 dB/dec. Marque o ponto exato em \omega=10 (≈ -2{,}96 dB).
  5. Para a fase: comece em -90^\circ para \omega\ll1; de uma década abaixo de \omega=1 até uma década acima de \omega=10 faça a transição de fase: a contribuição do zero em 1 eleva a fase (até +90°) enquanto o pólo em 10 abaixa novamente; o resultado líquido é que a fase sobe até cerca de -50{,}7^\circ no intervalo médio e volta para -90^\circ para \omega\gg10. Use os valores numéricos calculados em \omega=0{,}1,1,10,100 como pontos-guia.

Passo 8

Resumo final para o esboço (resultado conciso — o que você deve desenhar):
  • Polos/zeros: zero em \omega=1, pólos em \omega=0 e \omega=10.
  • Frequências de canto: \omega_z=1 e \omega_p=10.
  • Inclinações assimptóticas (magnitude, em dB/dec):
    • \omega\ll1:\; -20 dB/dec (integrador).
    • 1\ll\omega\ll10:\; 0 dB/dec (plano).
    • \omega\gg10:\; -20 dB/dec.
  • Valores numéricos de referência (magnitude em dB / fase em graus):
    • \omega=0{,}1:\; 20{,}04\\ \text{dB},\; -84{,}86^\circ.
    • \omega=1:\; 2{,}96\\ \text{dB},\; -50{,}71^\circ.
    • \omega=10:\; -2{,}96\\ \text{dB},\; -50{,}71^\circ.
    • \omega=100:\; -20{,}04\\ \text{dB},\; -84{,}86^\circ.
  • Limites: \angle H(j\omega)\to -90^\circ quando \omega\to0 e também quando \omega\to\infty. A fase atinge aproximadamente -50{,}7^\circ na região entre os cantos.

Resposta

Polos/zeros: zero em \omega=1; polos em \omega=0 e \omega=10.\nAssimptotas (magnitude): \omega\ll1: inclinação -20 dB/dec; 1\ll\omega\ll10: inclinação 0 dB/dec (plano); \omega\gg10: inclinação -20 dB/dec.\nPontos de referência:\n \omega=0{,}1:\; 20{,}04\\ \text{dB},\; -84{,}86^\circ.\n \omega=1:\; 2{,}96\\ \text{dB},\; -50{,}71^\circ.\n \omega=10:\; -2{,}96\\ \text{dB},\; -50{,}71^\circ.\n \omega=100:\; -20{,}04\\ \text{dB},\; -84{,}86^\circ.

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