O enunciado pede: esboçar o diagrama de Bode (magnitude e fase) do sistema dado por
H(s)=\frac{s+10}{s^{2}+101 s+100}.
Informações fornecidas que vamos usar:
H(s)=\frac{s+10}{s^{2}+101 s+100}.
Pede-se o esboço do diagrama de Bode (magnitude em dB vs.\ frequência logarítmica e fase em graus vs.\ frequência logarítmica). Vou listar e usar todas as informações algébricas do sistema (zeros, polos, ganhos) para construir as assíntotas e depois calcular alguns pontos numéricos para refinar o esboço.
Passo 2
Fatorar o numerador e o denominador para achar zeros e polos (passo obrigatório para Bode).
Resolver as raízes do denominador:
Isto significa que a curva de Bode pode ser construída somando as contribuições:
Constante 20\log_{10}(0{,}1)=-20 dB (nível baixo em DC).
Um zero em \omega=10 que, acima da frequência de canto, aumenta a inclinação em +20 dB/dec.
Dois polos em \omega=1 e \omega=100 que, cada um, acima do seu canto diminuem a inclinação em 20 dB/dec.
As frequências de canto (breakpoints) são \omega=1,\;10,\;100 rad/s.
Passo 5
Construir as assíntotas de magnitude (reta-simplificada) e calcular as inclinações por faixa.
Regras rápidas: cada polo simples dá -20 dB/dec a partir de sua frequência; cada zero simples dá +20 dB/dec a partir de sua frequência. Começando em baixa frequência (antes de 1):
Para \omega<1: nenhuma contribuição de polo/zero ativa; magnitude constante igual ao ganho DC -20 dB (inclinação 0 dB/dec).
Em \omega=1 aparece o primeiro polo: a partir de 1 a inclinação passa para -20 dB/dec.
Em \omega=10 aparece o zero: soma-se +20 dB/dec, então entre 10 e 100 a inclinação volta para 0 dB/dec.
Em \omega=100 aparece o segundo polo: soma-se -20 dB/dec, então para \omega>100 a inclinação final é -20 dB/dec.
Calcular valores numéricos em pontos importantes (para marcar o esboço) — magnitude exata em alguns \omega e comparação com as assíntotas.
A fórmula exata (linear) é
Observações: esses pontos mostram como a curva real se aproxima das assíntotas (por exemplo, em \omega=10 a assíntota previa -40 dB, o valor exato é -37{,}08 dB — típico efeito do zero começando a atuar).
Passo 7
Construir a fase: conceito e cálculos em pontos importantes.
Cada fator contribui para a fase como:
Interpretação para esboço (assíntotas de fase): cada polo/zero muda a fase numa faixa aproximadamente de uma década antes até uma década depois da frequência de canto; numa regra comum, cada transição simples é de \pm 90^\circ total e passa por \pm45^\circ na frequência de canto.
Passo 8
Instruções finais para o esboço (como desenhar passo a passo) e pontos para marcar:
Em \omega=1 mude inclinação para -20 dB/dec (reta caindo).
Em \omega=10 mude inclinação para 0 dB/dec (reta horizontal).
Em \omega=100 mude inclinação para -20 dB/dec (reta caindo).
Marque os pontos calculados: aproximadamente (-20\\ \text{dB} \\ \text{em}\\ \omega=0{,}1),\\\ -22{,}97\\ \text{dB em}\\ \omega=1,\\\ -37{,}08\\ \text{dB em}\\ \omega=10,\\\ -42{,}97\\ \text{dB em}\\ \omega=100,\\\ -60\\ \text{dB em}\\ \omega=1000).
Desenhe as assíntotas em retas e em seguida trace a curva real passando próximo aos pontos exatos (curva real terá transições suaves nas bandas de canto).
Fase (graus):
Começa em 0^\circ para \omega\ll1.
Primeiro polo (em 1) faz cair a fase até cerca de -90^\circ ao redor de uma década depois (transição essencial entre 0,1 e 10).
O zero em 10 adiciona +90^\circ na transição em torno de 10 (faixa aproximada 1–100), o efeito combinado dá valores próximos de -45^\circ por volta de 10.
O polo em 100 faz nova queda, levando a fase para próximo de -90^\circ em altas freqüências.
Marque os pontos calculados: aproximadamente -5{,}2^\circ em 0{,}1, -39{,}9^\circ em 1, -45^\circ em 10, -50{,}1^\circ em 100, -84{,}8^\circ em 1000.
Resultado: magnitude com três bandas de inclinação (0, -20, 0, -20 dB/dec) com cantos em 1,10,100 e fase transitando de 0^\circ para -90^\circ conforme as contribuições somadas dos fatores.
Resposta
Zero em \omega_z=10 rad/s; polos em \omega_{p1}=1 rad/s e \omega_{p2}=100 rad/s.\nGanho DC K=0{,}1 (ou -20 dB).\nAssíntotas de magnitude:\n\omega<1:0 dB/dec, nível -20 dB;\n1<\omega<10:-20 dB/dec;\n10<\omega<100:0 dB/dec;\n\omega>100:-20 dB/dec.\nPontos numéricos (aprox.):\n\omega=0{,}1:\\\ -20{,}04\\ \text{dB};\n\omega=1:\\\ -22{,}97\\ \text{dB};\n\omega=10:\\\ -37{,}08\\ \text{dB};\n\omega=100:\\\ -42{,}97\\ \text{dB};\n\omega=1000:\\\ -60\\ \text{dB}.\nFase (aprox.):\n\omega\to0:\\\ 0^\circ;\n\omega=0{,}1:\\\ -5{,}2^\circ;\n\omega=1:\\\ -39{,}9^\circ;\n\omega=10:\\\ -45^\circ;\n\omega=100:\\\ -50{,}1^\circ;\n\omega=1000:\\\ -84{,}8^\circ;\n\omega\to\infty:\\\ -90^\circ.\n(Use essas assíntotas e pontos para traçar o esboço: magnitude com cantos em 1,10,100 e fase com transições em torno dessas mesmas frequências.)