Esboce o diagrama de Bode do sistema
H(s)=\frac{s+10}{s^{2}+101 s+100}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o diagrama de Bode (magnitude e fase) do sistema dado por
H(s)=\frac{s+10}{s^{2}+101 s+100}.
Informações fornecidas que vamos usar:
H(s)=\frac{s+10}{s^{2}+101 s+100}.
Pede-se o esboço do diagrama de Bode (magnitude em dB vs.\ frequência logarítmica e fase em graus vs.\ frequência logarítmica). Vou listar e usar todas as informações algébricas do sistema (zeros, polos, ganhos) para construir as assíntotas e depois calcular alguns pontos numéricos para refinar o esboço.

Passo 2

Fatorar o numerador e o denominador para achar zeros e polos (passo obrigatório para Bode).
Resolver as raízes do denominador:
s^{2}+101 s+100=0.
Usando a fórmula quadrática:
s=\frac{-101\pm\sqrt{101^{2}-4\cdot1\cdot100}}{2}=\frac{-101\pm\sqrt{10201-400}}{2}=\frac{-101\pm\sqrt{9801}}{2}.
Como \sqrt{9801}=99, obtemos
s=\frac{-101\pm99}{2}\Rightarrow s=-1\quad\text{e}\quad s=-100.
O zero vem do numerador (s+10), logo zero em s=-10. Assim:
  • Zero em \omega_z=10 rad/s.
  • Polos em \omega_{p1}=1 rad/s e \omega_{p2}=100 rad/s.

Passo 3

Escrever H(s) na forma normalizada útil para Bode (fatores (1+s/\omega_c) e ganho DC).
Fatorando constantes:
s+10=10\Bigl(1+\frac{s}{10}\Bigr),
s+1=1\Bigl(1+\frac{s}{1}\Bigr), \quad s+100=100\Bigl(1+\frac{s}{100}\Bigr).
Logo
H(s)=\frac{10\bigl(1+\frac{s}{10}\bigr)}{1\cdot100\bigl(1+\frac{s}{1}\bigr)\bigl(1+\frac{s}{100}\bigr)} =0{,}1\cdot\frac{1+\frac{s}{10}}{\bigl(1+\frac{s}{1}\bigr)\bigl(1+\frac{s}{100}\bigr)}.
Portanto o ganho multiplicativo é K=0{,}1 (ou -20 dB em DC).

Passo 4

Expressão da magnitude em dB e da fase em termos dos fatores (fórmulas que usaremos).
A magnitude em dB:
20\log_{10}|H(j\omega)|=20\log_{10}(0{,}1)+20\log_{10}\Bigl|1+j\frac{\omega}{10}\Bigr| -20\log_{10}\Bigl|1+j\frac{\omega}{1}\Bigr|-20\log_{10}\Bigl|1+j\frac{\omega}{100}\Bigr|.
Isto significa que a curva de Bode pode ser construída somando as contribuições:
  • Constante 20\log_{10}(0{,}1)=-20 dB (nível baixo em DC).
  • Um zero em \omega=10 que, acima da frequência de canto, aumenta a inclinação em +20 dB/dec.
  • Dois polos em \omega=1 e \omega=100 que, cada um, acima do seu canto diminuem a inclinação em 20 dB/dec.
As frequências de canto (breakpoints) são \omega=1,\;10,\;100 rad/s.

Passo 5

Construir as assíntotas de magnitude (reta-simplificada) e calcular as inclinações por faixa.
Regras rápidas: cada polo simples dá -20 dB/dec a partir de sua frequência; cada zero simples dá +20 dB/dec a partir de sua frequência. Começando em baixa frequência (antes de 1):
  • Para \omega<1: nenhuma contribuição de polo/zero ativa; magnitude constante igual ao ganho DC -20 dB (inclinação 0 dB/dec).
  • Em \omega=1 aparece o primeiro polo: a partir de 1 a inclinação passa para -20 dB/dec.
  • Em \omega=10 aparece o zero: soma-se +20 dB/dec, então entre 10 e 100 a inclinação volta para 0 dB/dec.
  • Em \omega=100 aparece o segundo polo: soma-se -20 dB/dec, então para \omega>100 a inclinação final é -20 dB/dec.
Resumo das inclinações por faixa:
\begin{cases} \omega<1: & 0\\ \text{dB/dec},\\\\ 1<\omega<10: & -20\\ \text{dB/dec},\\\\ 10<\omega<100: & 0\\ \text{dB/dec},\\\ \omega>100: & -20\\ \text{dB/dec}. \end{cases}

Passo 6

Calcular valores numéricos em pontos importantes (para marcar o esboço) — magnitude exata em alguns \omega e comparação com as assíntotas.
A fórmula exata (linear) é
|H(j\omega)|=\frac{\sqrt{10^{2}+\omega^{2}}}{\sqrt{1+\omega^{2}}\;\sqrt{100^{2}+\omega^{2}}}.
Vou calcular |H(j\omega)| e 20\log_{10}(|H|) em \omega=0{,}1,\;1,\;10,\;100,\;1000 (esses pontos cobrem as faixas e ajudam no esboço).
  1. \omega=0{,}1
|j0{,}1+10|=\sqrt{10^{2}+0{,}1^{2}}\approx10{,}0005,
|j0{,}1+1|=\sqrt{1+0{,}1^{2}}\approx1{,}005,\quad |j0{,}1+100|\approx100{,}00005,
|H(j0{,}1)|\approx\frac{10{,}0005}{1{,}005\cdot100{,}00005}\approx0{,}0995,
20\log_{10}(0{,}0995)\approx-20{,}04\\ \text{dB}.
  1. \omega=1
|j1+10|=\sqrt{10^{2}+1^{2}}=\sqrt{101}\approx10{,}0499,
|j1+1|=\sqrt{2}\approx1{,}4142,\quad |j1+100|=\sqrt{100^{2}+1}\approx100{,}005,
|H(j1)|\approx\frac{10{,}0499}{1{,}4142\cdot100{,}005}\approx0{,}07106,
20\log_{10}(0{,}07106)\approx-22{,}97\\ \text{dB}.
  1. \omega=10
|j10+10|=\sqrt{10^{2}+10^{2}}=\sqrt{200}\approx14{,}1421,
|j10+1|=\sqrt{1+10^{2}}=\sqrt{101}\approx10{,}0499, \quad |j10+100|=\sqrt{100^{2}+10^{2}}=\sqrt{10100}\approx100{,}4988,
|H(j10)|\approx\frac{14{,}1421}{10{,}0499\cdot100{,}4988}\approx0{,}01400,
20\log_{10}(0{,}01400)\approx-37{,}08\\ \text{dB}.
  1. \omega=100
|j100+10|=\sqrt{100^{2}+10^{2}}=\sqrt{10100}\approx100{,}4988,
|j100+1|\approx100{,}005,\quad |j100+100|=\sqrt{100^{2}+100^{2}}=\sqrt{20000}\approx141{,}4214,
|H(j100)|\approx\frac{100{,}4988}{100{,}005\cdot141{,}4214}\approx0{,}007103,
20\log_{10}(0{,}007103)\approx-42{,}97\\ \text{dB}.
  1. \omega=1000 (região muito alta: usar aproximação)
    Para \omega\gg 100 temos H(j\omega)\approx\frac{j\omega}{(j\omega)^{2}}=\frac{1}{j\omega}, portanto |H|\approx1/\omega.
|H(j1000)|\approx\frac{1}{1000}=0{,}001\Rightarrow 20\log_{10}(0{,}001)=-60\\ \text{dB}.
Observações: esses pontos mostram como a curva real se aproxima das assíntotas (por exemplo, em \omega=10 a assíntota previa -40 dB, o valor exato é -37{,}08 dB — típico efeito do zero começando a atuar).

Passo 7

Construir a fase: conceito e cálculos em pontos importantes.
Cada fator contribui para a fase como:
\arg(1+j\omega/\omega_c)=\arctan\!\Bigl(\frac{\omega}{\omega_c}\Bigr)
para um zero e -\arctan(\omega/\omega_c) para um polo. Assim:
\angle H(j\omega)=\arctan\!\Bigl(\frac{\omega}{10}\Bigr)-\arctan(\omega/1)-\arctan\!\Bigl(\frac{\omega}{100}\Bigr),
medido em graus (usar \arctan em graus para o esboço).
Calculemos em pontos representativos (valores arredondados):
  • \omega=0{,}1: \angle H\approx0{,}573^\circ-5{,}711^\circ-0{,}0573^\circ\approx-5{,}20^\circ.
  • \omega=1: \angle H\approx5{,}711^\circ-45^\circ-0{,}573^\circ\approx-39{,}86^\circ.
  • \omega=10: \angle H\approx45^\circ-84{,}29^\circ-5{,}711^\circ\approx-45^\circ.
  • \omega=100: \angle H\approx84{,}29^\circ-89{,}43^\circ-45^\circ\approx-50{,}14^\circ.
  • \omega=1000: \angle H\approx89{,}43^\circ-89{,}94^\circ-84{,}29^\circ\approx-84{,}80^\circ.
Limites:
\omega\to0:\\ \angle H\to0^\circ, \qquad \omega\to\infty:\\ \angle H\to(+90^\circ)-90^\circ-90^\circ=-90^\circ.
Interpretação para esboço (assíntotas de fase): cada polo/zero muda a fase numa faixa aproximadamente de uma década antes até uma década depois da frequência de canto; numa regra comum, cada transição simples é de \pm 90^\circ total e passa por \pm45^\circ na frequência de canto.

Passo 8

Instruções finais para o esboço (como desenhar passo a passo) e pontos para marcar:
  1. Eixo horizontal: escala logarítmica em \omega (por exemplo: 0,1 — 1 — 10 — 100 — 1000).
  2. Magnitude (dB):
    • Comece em -20 dB para \omega<1.
    • Em \omega=1 mude inclinação para -20 dB/dec (reta caindo).
    • Em \omega=10 mude inclinação para 0 dB/dec (reta horizontal).
    • Em \omega=100 mude inclinação para -20 dB/dec (reta caindo).
    • Marque os pontos calculados: aproximadamente (-20\\ \text{dB} \\ \text{em}\\ \omega=0{,}1),\\\ -22{,}97\\ \text{dB em}\\ \omega=1,\\\ -37{,}08\\ \text{dB em}\\ \omega=10,\\\ -42{,}97\\ \text{dB em}\\ \omega=100,\\\ -60\\ \text{dB em}\\ \omega=1000).
    • Desenhe as assíntotas em retas e em seguida trace a curva real passando próximo aos pontos exatos (curva real terá transições suaves nas bandas de canto).
  3. Fase (graus):
    • Começa em 0^\circ para \omega\ll1.
    • Primeiro polo (em 1) faz cair a fase até cerca de -90^\circ ao redor de uma década depois (transição essencial entre 0,1 e 10).
    • O zero em 10 adiciona +90^\circ na transição em torno de 10 (faixa aproximada 1–100), o efeito combinado dá valores próximos de -45^\circ por volta de 10.
    • O polo em 100 faz nova queda, levando a fase para próximo de -90^\circ em altas freqüências.
    • Marque os pontos calculados: aproximadamente -5{,}2^\circ em 0{,}1, -39{,}9^\circ em 1, -45^\circ em 10, -50{,}1^\circ em 100, -84{,}8^\circ em 1000.
  4. Resultado: magnitude com três bandas de inclinação (0, -20, 0, -20 dB/dec) com cantos em 1,10,100 e fase transitando de 0^\circ para -90^\circ conforme as contribuições somadas dos fatores.

Resposta

Zero em \omega_z=10 rad/s; polos em \omega_{p1}=1 rad/s e \omega_{p2}=100 rad/s.\nGanho DC K=0{,}1 (ou -20 dB).\nAssíntotas de magnitude:\n \omega<1: 0 dB/dec, nível -20 dB;\n 1<\omega<10: -20 dB/dec;\n 10<\omega<100: 0 dB/dec;\n \omega>100: -20 dB/dec.\nPontos numéricos (aprox.):\n \omega=0{,}1:\\\ -20{,}04\\ \text{dB};\n \omega=1:\\\ -22{,}97\\ \text{dB};\n \omega=10:\\\ -37{,}08\\ \text{dB};\n \omega=100:\\\ -42{,}97\\ \text{dB};\n \omega=1000:\\\ -60\\ \text{dB}.\nFase (aprox.):\n \omega\to0:\\\ 0^\circ;\n \omega=0{,}1:\\\ -5{,}2^\circ;\n \omega=1:\\\ -39{,}9^\circ;\n \omega=10:\\\ -45^\circ;\n \omega=100:\\\ -50{,}1^\circ;\n \omega=1000:\\\ -84{,}8^\circ;\n \omega\to\infty:\\\ -90^\circ.\n(Use essas assíntotas e pontos para traçar o esboço: magnitude com cantos em 1,10,100 e fase com transições em torno dessas mesmas frequências.)

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