Esboce os diagramas de Bode de módulo e fase do sistema dado por
H(s)=\frac{(s+10)^{2}}{s(s+1)}

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce os diagramas de Bode (módulo e fase) do sistema dado por
H(s)=\frac{(s+10)^{2}}{s(s+1)}.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
H(s)=\frac{(s+10)^{2}}{s(s+1)}
é tudo o que temos. As perguntas são: desenhar (esboçar) o diagrama de módulo (em dB vs \omega log) e o diagrama de fase (em graus vs \omega log).
Nada mais será pedido; agora vou transformar essa expressão em fatores padrões para construir os esboços passo a passo.

Passo 2

Fatoro e normalizo H(s) para identificar ganhos, polos e zeros padrão:
(s+10)=10\left(1+\frac{s}{10}\right),
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(s+10)^{2}=100\left(1+\frac{s}{10}\right)^{2}.
Então
H(s)=100\cdot\frac{\left(1+\dfrac{s}{10}\right)^{2}}{s(1+s)}.
Resumo dos fatores (cada um usado no Bode):
  • ganho constante: 100 (equivale a 20\log_{10}(100)=40\\ \text{dB}),
  • zero duplo em -10 rad/s (ou seja dois zeros de primeira ordem em \omega_z=10),
  • polo em origem (integrador) em s=0,
  • polo simples em -1 (em \omega_p=1).

Passo 3

Regras práticas para construir o diagrama de módulo (em dB):
  • Converto |H(j\omega)| para dB: \;20\log_{10}|H(j\omega)|.
  • Em Bode, somamos em dB as contribuições dos fatores: 20\log_{10}|H(j\omega)|=20\log_{10}(100)+2\cdot20\log_{10}\left|1+\frac{j\omega}{10}\right|-20\log_{10}|\jmath\omega|-20\log_{10}\left|1+j\omega\right|.
  • Cada fator padrão contribui assim (para magnitude):
    • ganho 100: +40 dB em todas as frequências;
    • zero simples em \omega_z: para \omega\gg\omega_z inclinação +20 dB/dec; para \omega\ll\omega_z 0 dB/dec; quebra em \omega=\omega_z. Aqui temos dois zeros idênticos em \omega=10 => contribuição total +40 dB/dec a partir de 10;
    • polo integrador 1/s: inclinação -20 dB/dec em todas as frequências (com comportamento |1/j\omega|=1/\omega);
    • polo simples em \omega_p=1: adiciona -20 dB/dec para \omega\gg1 (quebra em \omega=1).

Passo 4

Determino as inclinações (slope) por faixa de frequência (assintótico):
  • Para \omega\ll 1: zeros em 10 ainda não atuam, polo em 1 não atua; sobram ganho +40 dB e integrador -20 dB/dec. Então inclinação total: -20 dB/dec. Expressão assintótica: |H(j\omega)|_{\text{asy}} \approx \frac{100}{\omega}\quad\Rightarrow\quad 20\log_{10}|H| \approx 40 -20\log_{10}(\omega)\\ \text{dB}.Por exemplo, em \omega=0{,}1 essa aproximação dá 20\log_{10}(100/0{,}1)=60\\ \text{dB} (valores exatos logo abaixo).

Passo 5

Faixa intermediária 1\ll\omega\ll 10:
  • O polo em \omega=1 já atua, somando mais -20 dB/dec ao integrador, totalizando -40 dB/dec.
  • Os zeros em 10 ainda não atuam (estão acima).
  • Expressão assintótica nesta faixa: |H(j\omega)|_{\text{asy}} \approx \frac{100}{\omega^{2}}\quad\Rightarrow\quad 20\log_{10}|H| \approx 40 -40\log_{10}(\omega)\\ \text{dB}.
  • Calculo exato (não assintótico) em \omega=1 para marcar o ponto real no esboço: |H(j1)|=\frac{|j1+10|^{2}}{|j1|\;|j1+1|}=\frac{(\sqrt{10^{2}+1^{2}})^{2}}{1\cdot\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\frac{101}{\sqrt{2}}\approx 71{,}421.Em dB: 20\log_{10}(|H(j1)|)\approx 37{,}08\\ \text{dB}.Observação: a assíntota para \omega=1 previa 40\\ \text{dB}; o valor real é cerca de 37{,}08\\ \text{dB} (erro típico do esboço assintótico).

Passo 6

Faixa alta \omega\gg 10:
  • Cada zero simples em 10 contribui com +20 dB/dec; sendo dois zeros, somam +40 dB/dec.
  • Para \omega\gg 10 tanto polo em 1 quanto integrador já atuaram, total de polos: -40 dB/dec; zeros trazem +40 dB/dec; inclinação total: 0 dB/dec (sistema de mesmas ordens de polo e zero de maior potência residual 0).
  • Limite em alta frequência: os termos de maior ordem em s cancelam (numerador e denominador têm ordem 2), então ganho tende a 1 (ou 0\\ \text{dB}): \lim_{\omega\to\infty}|H(j\omega)|=1\quad\Rightarrow\quad 0\\ \text{dB}.
  • Calculo exato em \omega=10 para marcar ponto: |H(j10)|=\frac{|j10+10|^{2}}{|j10|\;|j10+1|} =\frac{(10\sqrt{2})^{2}}{10\sqrt{101}}=\frac{200}{10\sqrt{101}}\approx 1{,}990.Em dB: 20\log_{10}(|H(j10)|)\approx 5{,}97\\ \text{dB}.

Passo 7

Resumo numérico útil para o esboço do módulo (valores exatos/aproximados):
  • \omega=0{,}1:\\ |H|\approx 995{,}06\Rightarrow 20\log_{10}|H|\approx 59{,}96\\ \text{dB}.
  • \omega=1:\\ |H|\approx 71{,}421\Rightarrow 20\log_{10}|H|\approx 37{,}08\\ \text{dB}.
  • \omega=10:\\ |H|\approx 1{,}990\Rightarrow 20\log_{10}|H|\approx 5{,}97\\ \text{dB}.
  • \omega=100:\\ |H|\approx 1{,}00995\Rightarrow 20\log_{10}|H|\approx 0{,}09\\ \text{dB}.
    Com esses pontos e as inclinações assintóticas ( -20 dB/dec para \omega<1; -40 dB/dec para 1<\omega<10; 0 dB/dec para \omega>10) você desenha o esboço do módulo: marque que o valor em baixa frequência cresce sem limite quando \omega\to0 (devido ao polo em origem).

Passo 8

Agora a fase. Fórmula exata para a fase usando ângulos dos fatores:
\angle H(j\omega)=2\angle(1+j\tfrac{\omega}{10})-\angle(j\omega)-\angle(1+j\omega).
Convertendo para funções \arctan em graus:
\angle H(j\omega)=2\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right)-90^\circ-\arctan(\omega).
Explicação breve: \angle(j\omega)=+90^\circ; \angle(1+j\omega)=\arctan(\omega/1)=\arctan(\omega); \angle(1+j\omega/10)=\arctan(\omega/10). Cada zero/polo de primeira ordem contribui com um \arctan que evolui suavemente de 0^\circ para 90^\circ ao cruzar sua frequência de canto.

Passo 9

Valores numéricos de fase (para marcar no esboço) — cálculos diretos da expressão anterior:
  • \omega\to 0:\\ \angle H\to 2\cdot 0^\circ -90^\circ -0^\circ = -90^\circ.
  • \omega=0{,}1:\\ \angle H\approx 2\arctan(0{,}01)-90^\circ-\arctan(0{,}1)\approx -94{,}56^\circ.
  • \omega=1:\\ \angle H\approx 2\arctan(0{,}1)-90^\circ-\arctan(1)\approx -123{,}58^\circ.
  • \omega=3{,}16\\ (\approx\sqrt{10}):\\ \angle H\approx -126{,}9^\circ (valor aproximado, próximo do mínimo da fase).
  • \omega=10:\\ \angle H\approx 2\arctan(1)-90^\circ-\arctan(10)\approx -84{,}29^\circ.
  • \omega=100:\\ \angle H\approx -10{,}85^\circ.
  • \omega\to\infty:\\ \angle H\to 0^\circ.
Interpretação para esboço de fase:
  • Em baixas frequências a fase começa em -90^\circ (efeito do integrador).
  • Ao redor de \omega=1 aparece a contribuição do polo em 1 que faz a fase descer ainda mais (até perto de -130^\circ na região intermediária).
  • Ao redor de \omega=10 os dois zeros começam a “levantar” a fase (cada zero dá até +90^\circ; juntos podem somar até +180^\circ), fazendo a fase subir gradualmente de volta para 0^\circ em altas frequências.
  • No esboço assintótico, você pode aproximar cada \arctan espalhando a transição de \times 0{,}1\omega_c a \times 10\omega_c com valores \pm 45^\circ na frequência de canto, mas a expressão exata acima é simples e dá pontos precisos.

Passo 10

Instruções práticas para desenhar os diagramas (passo a passo de caneta e papel):
  1. Em escala logaritmica de \omega marque as quebras \omega=1 e \omega=10 (e opcionalmente \omega=0{,}1, \omega=100 para guiar).
  2. No diagrama de módulo (dB):
    • Marque o valor aproximado em \omega=1 de 37{,}08\\ \text{dB}.
    • Para \omega<1 desenhe uma linha com inclinação -20 dB/dec passando perto de 59{,}96\\ \text{dB} em \omega=0{,}1 e 37,08 dB em \omega=1.
    • Para 1<\omega<10 desenhe uma linha com inclinação -40 dB/dec que atinge cerca de 5{,}97\\ \text{dB} em \omega=10.
    • Para \omega>10 desenhe uma linha horizontal (0 dB/dec) tendendo a 0\\ \text{dB} em \omega\to\infty (valor real em \omega=100 é \approx 0{,}09\\ \text{dB}).
  3. No diagrama de fase:
    • Em \omega\to0 comece em -90^\circ.
    • Passe pelos pontos de fase calculados (por exemplo -94{,}56^\circ em \omega=0{,}1, -123{,}58^\circ em \omega=1, mínimo por volta de -127^\circ em alguma frequência intermediária, depois -84{,}3^\circ em \omega=10, subindo para \approx -10{,}85^\circ em \omega=100 e 0^\circ em \infty).
    • Use transições suaves (não linhas quebradas rígidas): a fase muda seguindo curvas \arctan dos fatores.
  4. Rotule claramente os polos e zeros (polo em 0, polo em 1, zeros duplos em 10) e as inclinações assintóticas usadas.

Resposta

Pontos-chave para o esboço de Bode (módulo e fase) de \;H(s)=\dfrac{(s+10)^{2}}{s(s+1)}:
Módulo (dB) — fatores e assíntotas:
H(s)=100\frac{\left(1+\dfrac{s}{10}\right)^{2}}{s(1+s)}.
  • Ganho constante: 100\Rightarrow +40\\ \text{dB}.
  • Quebras em \omega=1 (polo) e \omega=10 (zero duplo).
  • Inclinações assintóticas:
    • \omega<1: -20 dB/dec;
    • 1<\omega<10: -40 dB/dec;
    • \omega>10: 0 dB/dec (tende a 0\\ \text{dB}).
  • Valores numéricos úteis: \begin{aligned} \omega=0{,}1:&\quad 20\log_{10}|H|\approx 59{,}96\\ \text{dB},\\\ \omega=1:&\quad 20\log_{10}|H|\approx 37{,}08\\ \text{dB},\\\ \omega=10:&\quad 20\log_{10}|H|\approx 5{,}97\\ \text{dB},\\\ \omega=100:&\quad 20\log_{10}|H|\approx 0{,}09\\ \text{dB}. \end{aligned}
Fase (graus) — expressão e pontos:
\angle H(j\omega)=2\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right)-90^\circ-\arctan(\omega).
  • Limites: \omega\to0:\angle H\to -90^\circ. \omega\to\infty:\angle H\to 0^\circ.
  • Valores numéricos úteis: \begin{aligned} \omega=0{,}1:&\quad \angle H\approx -94{,}56^\circ,\\\ \omega=1:&\quad \angle H\approx -123{,}58^\circ,\\\ \omega\approx 3{,}16:&\quad \angle H\approx -126{,}9^\circ\\ (\text{mínimo aproximado}),\\\ \omega=10:&\quad \angle H\approx -84{,}29^\circ,\\\ \omega=100:&\quad \angle H\approx -10{,}85^\circ. \end{aligned}í
Use esses pontos, as inclinações assintóticas e a expressão da fase para desenhar os dois diagramas de Bode: módulo com quebras em \omega=1 e \omega=10 e fase começando em -90^\circ, descendo até cerca de -127^\circ e subindo para 0^\circ em alta frequência.

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