Esboce os diagramas de Bode de módulo e fase do sistema dado por
H(s)=\frac{(s+10)^{2}}{s(s+1)}
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce os diagramas de Bode (módulo e fase) do sistema dado por
H(s)=\frac{(s+10)^{2}}{s(s+1)}.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
H(s)=\frac{(s+10)^{2}}{s(s+1)}
é tudo o que temos. As perguntas são: desenhar (esboçar) o diagrama de módulo (em dB vs \omega log) e o diagrama de fase (em graus vs \omega log).
Nada mais será pedido; agora vou transformar essa expressão em fatores padrões para construir os esboços passo a passo.
Passo 2
Fatoro e normalizo H(s) para identificar ganhos, polos e zeros padrão:
ganho constante: 100 (equivale a 20\log_{10}(100)=40\\ \text{dB}),
zero duplo em -10 rad/s (ou seja dois zeros de primeira ordem em \omega_z=10),
polo em origem (integrador) em s=0,
polo simples em -1 (em \omega_p=1).
Passo 3
Regras práticas para construir o diagrama de módulo (em dB):
Converto |H(j\omega)| para dB: \;20\log_{10}|H(j\omega)|.
Em Bode, somamos em dB as contribuições dos fatores:20\log_{10}|H(j\omega)|=20\log_{10}(100)+2\cdot20\log_{10}\left|1+\frac{j\omega}{10}\right|-20\log_{10}|\jmath\omega|-20\log_{10}\left|1+j\omega\right|.
Cada fator padrão contribui assim (para magnitude):
ganho 100: +40 dB em todas as frequências;
zero simples em \omega_z: para \omega\gg\omega_z inclinação +20 dB/dec; para \omega\ll\omega_z 0 dB/dec; quebra em \omega=\omega_z. Aqui temos dois zeros idênticos em \omega=10 => contribuição total +40 dB/dec a partir de 10;
polo integrador 1/s: inclinação -20 dB/dec em todas as frequências (com comportamento |1/j\omega|=1/\omega);
polo simples em \omega_p=1: adiciona -20 dB/dec para \omega\gg1 (quebra em \omega=1).
Passo 4
Determino as inclinações (slope) por faixa de frequência (assintótico):
Para \omega\ll 1: zeros em 10 ainda não atuam, polo em 1 não atua; sobram ganho +40 dB e integrador -20 dB/dec. Então inclinação total: -20 dB/dec. Expressão assintótica:|H(j\omega)|_{\text{asy}} \approx \frac{100}{\omega}\quad\Rightarrow\quad 20\log_{10}|H| \approx 40 -20\log_{10}(\omega)\\ \text{dB}.Por exemplo, em \omega=0{,}1 essa aproximação dá 20\log_{10}(100/0{,}1)=60\\ \text{dB} (valores exatos logo abaixo).
Passo 5
Faixa intermediária 1\ll\omega\ll 10:
O polo em \omega=1 já atua, somando mais -20 dB/dec ao integrador, totalizando -40 dB/dec.
Calculo exato (não assintótico) em \omega=1 para marcar o ponto real no esboço:|H(j1)|=\frac{|j1+10|^{2}}{|j1|\;|j1+1|}=\frac{(\sqrt{10^{2}+1^{2}})^{2}}{1\cdot\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\frac{101}{\sqrt{2}}\approx 71{,}421.Em dB:20\log_{10}(|H(j1)|)\approx 37{,}08\\ \text{dB}.Observação: a assíntota para \omega=1 previa 40\\ \text{dB}; o valor real é cerca de 37{,}08\\ \text{dB} (erro típico do esboço assintótico).
Passo 6
Faixa alta \omega\gg 10:
Cada zero simples em 10 contribui com +20 dB/dec; sendo dois zeros, somam +40 dB/dec.
Para \omega\gg 10 tanto polo em 1 quanto integrador já atuaram, total de polos: -40 dB/dec; zeros trazem +40 dB/dec; inclinação total: 0 dB/dec (sistema de mesmas ordens de polo e zero de maior potência residual 0).
Limite em alta frequência: os termos de maior ordem em s cancelam (numerador e denominador têm ordem 2), então ganho tende a 1 (ou 0\\ \text{dB}):\lim_{\omega\to\infty}|H(j\omega)|=1\quad\Rightarrow\quad 0\\ \text{dB}.
Calculo exato em \omega=10 para marcar ponto:|H(j10)|=\frac{|j10+10|^{2}}{|j10|\;|j10+1|} =\frac{(10\sqrt{2})^{2}}{10\sqrt{101}}=\frac{200}{10\sqrt{101}}\approx 1{,}990.Em dB:20\log_{10}(|H(j10)|)\approx 5{,}97\\ \text{dB}.
Passo 7
Resumo numérico útil para o esboço do módulo (valores exatos/aproximados):
\omega=100:\\ |H|\approx 1{,}00995\Rightarrow 20\log_{10}|H|\approx 0{,}09\\ \text{dB}.
Com esses pontos e as inclinações assintóticas (-20 dB/dec para \omega<1; -40 dB/dec para 1<\omega<10; 0 dB/dec para \omega>10) você desenha o esboço do módulo: marque que o valor em baixa frequência cresce sem limite quando \omega\to0 (devido ao polo em origem).
Passo 8
Agora a fase. Fórmula exata para a fase usando ângulos dos fatores:
Explicação breve: \angle(j\omega)=+90^\circ; \angle(1+j\omega)=\arctan(\omega/1)=\arctan(\omega); \angle(1+j\omega/10)=\arctan(\omega/10). Cada zero/polo de primeira ordem contribui com um \arctan que evolui suavemente de 0^\circ para 90^\circ ao cruzar sua frequência de canto.
Passo 9
Valores numéricos de fase (para marcar no esboço) — cálculos diretos da expressão anterior:
Em baixas frequências a fase começa em -90^\circ (efeito do integrador).
Ao redor de \omega=1 aparece a contribuição do polo em 1 que faz a fase descer ainda mais (até perto de -130^\circ na região intermediária).
Ao redor de \omega=10 os dois zeros começam a “levantar” a fase (cada zero dá até +90^\circ; juntos podem somar até +180^\circ), fazendo a fase subir gradualmente de volta para 0^\circ em altas frequências.
No esboço assintótico, você pode aproximar cada \arctan espalhando a transição de \times 0{,}1\omega_c a \times 10\omega_c com valores \pm 45^\circ na frequência de canto, mas a expressão exata acima é simples e dá pontos precisos.
Passo 10
Instruções práticas para desenhar os diagramas (passo a passo de caneta e papel):
Em escala logaritmica de \omega marque as quebras \omega=1 e \omega=10 (e opcionalmente \omega=0{,}1, \omega=100 para guiar).
No diagrama de módulo (dB):
Marque o valor aproximado em \omega=1 de 37{,}08\\ \text{dB}.
Para \omega<1 desenhe uma linha com inclinação -20 dB/dec passando perto de 59{,}96\\ \text{dB} em \omega=0{,}1 e 37,08 dB em \omega=1.
Para 1<\omega<10 desenhe uma linha com inclinação -40 dB/dec que atinge cerca de 5{,}97\\ \text{dB} em \omega=10.
Para \omega>10 desenhe uma linha horizontal (0 dB/dec) tendendo a 0\\ \text{dB} em \omega\to\infty (valor real em \omega=100 é \approx 0{,}09\\ \text{dB}).
No diagrama de fase:
Em \omega\to0 comece em -90^\circ.
Passe pelos pontos de fase calculados (por exemplo -94{,}56^\circ em \omega=0{,}1, -123{,}58^\circ em \omega=1, mínimo por volta de -127^\circ em alguma frequência intermediária, depois -84{,}3^\circ em \omega=10, subindo para \approx -10{,}85^\circ em \omega=100 e 0^\circ em \infty).
Use transições suaves (não linhas quebradas rígidas): a fase muda seguindo curvas \arctan dos fatores.
Rotule claramente os polos e zeros (polo em 0, polo em 1, zeros duplos em 10) e as inclinações assintóticas usadas.
Resposta
Pontos-chave para o esboço de Bode (módulo e fase) de \;H(s)=\dfrac{(s+10)^{2}}{s(s+1)}:
Use esses pontos, as inclinações assintóticas e a expressão da fase para desenhar os dois diagramas de Bode: módulo com quebras em \omega=1 e \omega=10 e fase começando em -90^\circ, descendo até cerca de -127^\circ e subindo para 0^\circ em alta frequência.