Esboce os diagramas de Bode de módulo e fase do sistema dado por
H(s)=\frac{s+10}{(s+1)(s+100)}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar os diagramas de Bode de módulo e de fase do sistema
H(s)=\frac{s+10}{(s+1)(s+100)}.
Informações fornecidas e pontos importantes que vamos usar:
  • Zeros e polos: há um zero em s=-10 e polos em s=-1 e s=-100.
  • Frequências características (frequências de canto): \omega_{z}=10, \omega_{p1}=1 e \omega_{p2}=100 (todas em \mathrm{rad/s}).
  • Precisamos do diagrama de módulo (em dB) e do diagrama de fase (em graus) em função de \omega no eixo logarítmico.
  • Vou construir os diagramas usando a decomposição em fatores de primeira ordem e as regras padrão de Bode (assíntotas para módulo e variação de fase aproximada por arctan), e também calcular alguns valores exatos em pontos-chave para melhorar o esboço.

Passo 2

Transformação para trabalhar confortavelmente com j\omega e decomposição em fatores:
H(j\omega)=\frac{j\omega+10}{(j\omega+1)(j\omega+100)}.
É útil escrever como produto de fatores normalizados (fatores do tipo 1+j\omega/\omega_0), mas aqui podemos usar diretamente cada fator. Para o módulo:
|H(j\omega)|=\frac{\sqrt{\omega^2+10^2}}{\sqrt{\omega^2+1^2}\,\sqrt{\omega^2+100^2}}.
Em dB:
20\log_{10}|H(j\omega)|=20\log_{10}\sqrt{\omega^2+10^2}-20\log_{10}\sqrt{\omega^2+1^2}-20\log_{10}\sqrt{\omega^2+100^2}.
Para a fase, somamos as fases dos fatores (zero com sinal positivo, polos com sinal negativo):
\angle H(j\omega)=\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{1}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{100}\right),
onde todas as arctan estão em graus (vou converter os valores numéricos para graus nas avaliações).
Vou lembrar as regras práticas de Bode que vou aplicar (explicando por quê):
  • Um zero de primeira ordem em \omega_z contribui, para o módulo, com +20 dB/dec a partir de \omega_z (na assíntota) e, para a fase, com variação de 0^\circ para +90^\circ começando aproximadamente em \omega_z/10 e terminando em 10\omega_z, com meia-ganho em \omega_z.
  • Um polo de primeira ordem em \omega_p contribui com -20 dB/dec a partir de \omega_p (na assíntota) e com variação de 0^\circ para -90^\circ no mesmo intervalo [\omega_p/10,10\omega_p].
  • Módulo total em dB é soma (algebraica) das contribuições dB de cada fator; fase total é soma (algebraica) das arctan de cada fator.

Passo 3

Construção das assíntotas do diagrama de módulo (passo a passo didático):
  1. Valor em \omega=0 (ganho DC): substituindo \omega=0 em H(s) temos
H(0)=\frac{10}{1\cdot 100}=0,1.
Em dB:
20\log_{10}(0,1)=-20\\ \text{dB}.
Portanto, para \omega\ll 1 o módulo é aproximadamente -20 dB (constante), pois nenhum polo/zero ainda afeta a inclinação.
  1. Mudanças de inclinação nas frequências de canto:
  • Em \omega=1 aparece um polo: a inclinação (slope) da assíntota muda em -20 dB/dec.
  • Em \omega=10 aparece um zero: a inclinação muda em +20 dB/dec.
  • Em \omega=100 aparece um polo: a inclinação muda em -20 dB/dec.
  1. Determinação das inclinações em cada faixa:
  • Para \omega<1: inclinação 0 dB/dec, nível -20 dB.
  • Para 1<\omega<10: após o polo em 1, inclinação -20 dB/dec.
  • Para 10<\omega<100: o zero em 10 soma +20 dB/dec, cancelando o -20 anterior → inclinação volta a 0 dB/dec.
  • Para \omega>100: o polo em 100 soma -20 dB/dec → inclinação final -20 dB/dec.
  1. Valores da assíntota nos cantos usando o valor DC e as inclinações:
  • Em \omega=1 (marco de início da queda): assíntota ainda era -20 dB logo antes de 1; a partir de 1 caímos com -20 dB/dec.
  • Em \omega=10: uma década depois de \omega=1 a assíntota teria caído mais 20 dB, portanto assíntota em 10 seria aproximadamente -40 dB (seguindo as regras de assíntota).
  • Para 10<\omega<100 a assíntota é aproximadamente plana em -40 dB.
  • Para \omega=100 inicia nova queda e para \omega=1000 (uma década depois) já teríamos -60 dB na assíntota.
Observação didática: as assíntotas facilitam o esboço, mas os valores exatos diferem um pouco perto das frequências de canto. Por isso é bom calcular alguns pontos exatos para melhorar o traço do gráfico.

Passo 4

Cálculos de valores exatos em pontos-chave para afinar o esboço do módulo (explicando as contas):
Usamos
|H(j\omega)|=\frac{\sqrt{\omega^2+10^2}}{\sqrt{\omega^2+1^2}\,\sqrt{\omega^2+100^2}},
e em dB 20\log_{10}(\cdot).
Vamos calcular (aproximações numéricas com pouca conta, usando raízes e aritmética simples):
  1. \omega=0:
|H(j0)|=0,1\quad\Rightarrow\quad 20\log_{10}(0,1)=-20{,}00\\ \text{dB}.
  1. \omega=1:
|H(j1)|=\frac{\sqrt{1+100}}{\sqrt{1+1}\sqrt{1+10000}}=\frac{\sqrt{101}}{\sqrt{2}\sqrt{10001}}.
Numérico (aprox.):
\sqrt{101}\approx10{,}0499, \sqrt{2}\approx1{,}4142, \sqrt{10001}\approx100{,}005.
Produto do denominador \approx1{,}4142\cdot100{,}005\approx141{,}428.
Então |H(j1)|\approx10{,}0499/141{,}428\approx0{,}07106.
Em dB:
20\log_{10}(0{,}07106)\approx-22{,}96\\ \text{dB}.
  1. \omega=10:
|H(j10)|=\frac{\sqrt{100+100}}{\sqrt{100+1}\sqrt{100+10000}}=\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{101}\sqrt{10100}}.
Numérico:
\sqrt{200}\approx14{,}1421, \sqrt{101}\approx10{,}0499, \sqrt{10100}\approx100{,}4988.
Denominador \approx10{,}0499\cdot100{,}4988\approx1010{,}0075.
Então |H(j10)|\approx14{,}1421/1010{,}0075\approx0{,}014000.
Em dB:
20\log_{10}(0{,}014000)\approx-37{,}08\\ \text{dB}.
  1. \omega=100:
|H(j100)|=\frac{\sqrt{10000+100}}{\sqrt{10000+1}\sqrt{10000+10000}}=\frac{\sqrt{10100}}{\sqrt{10001}\sqrt{20000}}.
Numérico:
\sqrt{10100}\approx100{,}4988, \sqrt{10001}\approx100{,}005, \sqrt{20000}\approx141{,}4214.
Denominador \approx100{,}005\cdot141{,}4214\approx14\,142{,}843}.
Então |H(j100)|\approx100{,}4988/14\,142{,}843\approx0{,}0071068.
Em dB:
20\log_{10}(0{,}0071068)\approx-42{,}97\\ \text{dB}.
Esses pontos mostram que as assíntotas dão uma boa ideia geral, mas o valor exato em \omega=10 é -37{,}1 dB (assíntota previa -40 dB) e em \omega=100 é -43{,}0 dB (assíntota aproximava -40 dB antes de iniciar nova queda).

Passo 5

Construção didática do diagrama de fase:
Usamos a fórmula exata
\angle H(j\omega)=\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{1}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{100}\right).
Interpretação:
  • Para \omega\ll 1: todas as arctan são quase zero ⇒ \angle H\approx0^\circ.
  • Para \omega\gg100: cada arctan tende a +90^\circ \angle H\to 90^\circ-90^\circ-90^\circ=-90^\circ.
  • Cada termo transita aproximadamente entre \omega/10 e 10\omega conforme explicado antes: o polo em 1 vai dar cerca de -90^\circ entre 0{,}1 e 10, o zero em 10 vai dar +90^\circ entre 1 e 100, e o polo em 100 vai dar -90^\circ entre 10 e 1000. O efeito combinado gera uma variação que começa perto de 0^\circ e termina em -90^\circ, com uma região de maior variação entre cerca de 0{,}1 e 1000.
Vamos calcular valores exatos aproximados em frequências-chaves (convertendo arctan em graus; valores conhecidos: \arctan(1)=45^\circ, \arctan(10)\approx84{,}289^\circ, \arctan(0{,}1)\approx5{,}711^\circ, \arctan(0{,}01)\approx0{,}5729^\circ, \arctan(100)\approx89{,}427^\circ, \arctan(1000)\approx89{,}943^\circ):
  1. \omega=0{,}1:
\angle H\approx \arctan(0{,}01)-\arctan(0{,}1)-\arctan(0{,}001)\approx0{,}573^\circ-5{,}711^\circ-0{,}057^\circ\approx-5{,}20^\circ.
  1. \omega=1:
\angle H\approx \arctan(0{,}1)-\arctan(1)-\arctan(0{,}01)\approx5{,}711^\circ-45^\circ-0{,}573^\circ\approx-39{,}86^\circ.
  1. \omega=10:
\angle H\approx \arctan(1)-\arctan(10)-\arctan(0{,}1)\approx45^\circ-84{,}289^\circ-5{,}711^\circ\approx-45{,}00^\circ.
  1. \omega=100:
\angle H\approx \arctan(10)-\arctan(100)-\arctan(1)\approx84{,}289^\circ-89{,}427^\circ-45^\circ\approx-50{,}14^\circ.
  1. \omega=1000:
\angle H\approx \arctan(100)-\arctan(1000)-\arctan(10)\approx89{,}427^\circ-89{,}943^\circ-84{,}289^\circ\approx-84{,}81^\circ.
Esses valores permitem esboçar a curva de fase com boa precisão: começa perto de 0^\circ, desce para cerca de -40^\circ em \omega=1, passa por -45^\circ em \omega=10, atinge cerca de -50^\circ em \omega=100 e aproxima-se de -90^\circ para \omega muito grandes.

Passo 6

Como esboçar passo a passo (instruções práticas para a prova):
  1. Trace eixos: eixo horizontal logarítmico (marque por décadas: e.g. 0{,}1,1,10,100,1000), eixo vertical em dB para módulo e em graus para fase.
  2. Módulo:
    • Marque o ponto DC -20 dB para \omega\ll1.
    • Desenhe a assíntota horizontal até \omega=1.
    • A partir de \omega=1 desenhe uma reta caindo com -20 dB/dec até \omega=10.
    • A partir de \omega=10 aplique inclinação 0 dB/dec (reta quase horizontal) até \omega=100.
    • A partir de \omega=100 desenhe reta caindo com -20 dB/dec.
    • Marque os pontos exatos calculados para \omega=1 ( -22{,}96 dB), \omega=10 ( -37{,}08 dB) e \omega=100 ( -42{,}97 dB) para ajustar o esboço perto das quebras.
  3. Fase:
    • Comece em 0^\circ para \omega\ll0{,}1.
    • Entre \omega\approx0{,}1 e \omega\approx10 a fase cai (por efeito do polo em 1 e do zero em 10); use os pontos calculados para guiar: -5{,}2^\circ em 0{,}1, -39{,}9^\circ em 1, -45^\circ em 10.
    • Entre 10 e 1000 a fase continua variando por ação do polo em 100; marque -50{,}1^\circ em 100 e aprox. -84{,}8^\circ em 1000.
    • Termine em -90^\circ para \omega\gg1000.
  4. Se quiser melhorar visualmente, desenhe transições de fase suaves que iniciam uma década antes da frequência de canto e terminam uma década depois (padrão Bode).

Passo 7

Resumo pedagógico rápido (o que cada termo faz) para memorizar na prova:
  • Polo em 1: começa a reduzir o ganho em -20 dB/dec a partir de \omega=1 e adiciona até -90^\circ de fase entre \omega=0{,}1 e \omega=10.
  • Zero em 10: compensa +20 dB/dec a partir de \omega=10 e adiciona até +90^\circ de fase entre \omega=1 e \omega=100.
  • Polo em 100: reduz novamente em -20 dB/dec a partir de \omega=100 e adiciona -90^\circ de fase entre \omega=10 e \omega=1000.
  • Ganho DC fixo: H(0)=0{,}1 ( -20 dB) — ponto de partida do esboço de módulo.

Resposta

Módulo (assíntotas e pontos exatos):
  • Ganho DC: -20\\ \text{dB} (para \omega\ll1).
  • Frequências de canto: \omega=1,\\\ 10,\\\ 100.
  • Inclinações das assíntotas:
    • \omega<1: 0\\ \text{dB/dec}.
    • 1<\omega<10: -20\\ \text{dB/dec}.
    • 10<\omega<100: 0\\ \text{dB/dec}.
    • \omega>100: -20\\ \text{dB/dec}.
  • Valores exatos úteis:
    • \omega=0: -20{,}00\\ \text{dB}.
    • \omega=1: -22{,}96\\ \text{dB}.
    • \omega=10: -37{,}08\\ \text{dB}.
    • \omega=100: -42{,}97\\ \text{dB}.
Fase (fórmula e valores aproximados):
  • Fórmula exata: \angle H(j\omega)=\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{1}\right)-\arctan\!\left(\frac{\omega}{100}\right).
  • Comportamento:
    • \omega\ll0{,}1: \angle H\approx0^\circ.
    • \omega\gg1000: \angle H\to-90^\circ.
  • Valores aproximados:
    • \omega=0{,}1:\\ \angle H\approx-5{,}2^\circ.
    • \omega=1:\\ \angle H\approx-39{,}9^\circ.
    • \omega=10:\\ \angle H\approx-45{,}0^\circ.
    • \omega=100:\\ \angle H\approx-50{,}1^\circ.
    • \omega=1000:\\ \angle H\approx-84{,}8^\circ.
(Com essas informações e as assíntotas indicadas você consegue esboçar os diagramas de Bode de módulo e fase: módulo iniciando em -20 dB, caindo entre 1 e 10, ficando quase plano entre 10 e 100 e caindo novamente para \omega>100; fase indo de 0^\circ para -90^\circ com os valores listados nos pontos-chave.)

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