Esboce os diagramas de Bode de módulo e fase do sistema dado por
Passo 1
O enunciado pede: esboçar os diagramas de Bode de módulo e de fase do sistema
Informações fornecidas e pontos importantes que vamos usar:
- Zeros e polos: há um zero em
e polos em e . - Frequências características (frequências de canto):
, e (todas em ). - Precisamos do diagrama de módulo (em dB) e do diagrama de fase (em graus) em função de
no eixo logarítmico. - Vou construir os diagramas usando a decomposição em fatores de primeira ordem e as regras padrão de Bode (assíntotas para módulo e variação de fase aproximada por arctan), e também calcular alguns valores exatos em pontos-chave para melhorar o esboço.
Passo 2
Transformação para trabalhar confortavelmente com
e decomposição em fatores:
É útil escrever como produto de fatores normalizados (fatores do tipo
), mas aqui podemos usar diretamente cada fator. Para o módulo:
Em dB:
Para a fase, somamos as fases dos fatores (zero com sinal positivo, polos com sinal negativo):
onde todas as arctan estão em graus (vou converter os valores numéricos para graus nas avaliações).
Vou lembrar as regras práticas de Bode que vou aplicar (explicando por quê):
- Um zero de primeira ordem em
contribui, para o módulo, com +20 dB/dec a partir de (na assíntota) e, para a fase, com variação de para começando aproximadamente em e terminando em , com meia-ganho em . - Um polo de primeira ordem em
contribui com dB/dec a partir de (na assíntota) e com variação de para no mesmo intervalo . - Módulo total em dB é soma (algebraica) das contribuições dB de cada fator; fase total é soma (algebraica) das arctan de cada fator.
Passo 3
Construção das assíntotas do diagrama de módulo (passo a passo didático):
- Valor em
(ganho DC): substituindo em temos
Em dB:
Portanto, para
o módulo é aproximadamente
dB (constante), pois nenhum polo/zero ainda afeta a inclinação.
- Mudanças de inclinação nas frequências de canto:
- Em
aparece um polo: a inclinação (slope) da assíntota muda em dB/dec. - Em
aparece um zero: a inclinação muda em dB/dec. - Em
aparece um polo: a inclinação muda em dB/dec.
- Determinação das inclinações em cada faixa:
- Para
: inclinação dB/dec, nível dB. - Para
: após o polo em 1, inclinação dB/dec. - Para
: o zero em 10 soma +20 dB/dec, cancelando o -20 anterior → inclinação volta a dB/dec. - Para
: o polo em 100 soma dB/dec → inclinação final dB/dec.
- Valores da assíntota nos cantos usando o valor DC e as inclinações:
- Em
(marco de início da queda): assíntota ainda era dB logo antes de 1; a partir de 1 caímos com dB/dec. - Em
: uma década depois de a assíntota teria caído mais dB, portanto assíntota em seria aproximadamente dB (seguindo as regras de assíntota). - Para
a assíntota é aproximadamente plana em dB. - Para
inicia nova queda e para (uma década depois) já teríamos dB na assíntota.
Observação didática: as assíntotas facilitam o esboço, mas os valores exatos diferem um pouco perto das frequências de canto. Por isso é bom calcular alguns pontos exatos para melhorar o traço do gráfico.
Passo 4
Cálculos de valores exatos em pontos-chave para afinar o esboço do módulo (explicando as contas):
Usamos
Usamos
e em dB
.
Vamos calcular (aproximações numéricas com pouca conta, usando raízes e aritmética simples):
-
:
-
:
Numérico (aprox.):
,
,
.
Produto do denominador .
Então .
Em dB:
Produto do denominador
Então
Em dB:
-
:
Numérico:
,
,
.
Denominador .
Então .
Em dB:
Denominador
Então
Em dB:
-
:
Numérico:
,
,
.
Denominador .
Então .
Em dB:
Denominador .
Então
Em dB:
Esses pontos mostram que as assíntotas dão uma boa ideia geral, mas o valor exato em
é
dB (assíntota previa
dB) e em
é
dB (assíntota aproximava
dB antes de iniciar nova queda).
Passo 5
Construção didática do diagrama de fase:
Usamos a fórmula exata
Usamos a fórmula exata
Interpretação:
- Para
: todas as arctan são quase zero ⇒ . - Para
: cada arctan tende a ⇒ . - Cada termo transita aproximadamente entre
e conforme explicado antes: o polo em 1 vai dar cerca de entre e , o zero em 10 vai dar entre e , e o polo em 100 vai dar entre e . O efeito combinado gera uma variação que começa perto de e termina em , com uma região de maior variação entre cerca de e .
Vamos calcular valores exatos aproximados em frequências-chaves (convertendo arctan em graus; valores conhecidos:
,
,
,
,
,
):
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Esses valores permitem esboçar a curva de fase com boa precisão: começa perto de
, desce para cerca de
em
, passa por
em
, atinge cerca de
em
e aproxima-se de
para
muito grandes.
Passo 6
Como esboçar passo a passo (instruções práticas para a prova):
- Trace eixos: eixo horizontal logarítmico (marque por décadas: e.g.
), eixo vertical em dB para módulo e em graus para fase. - Módulo:
- Marque o ponto DC
dB para . - Desenhe a assíntota horizontal até
. - A partir de
desenhe uma reta caindo com dB/dec até . - A partir de
aplique inclinação dB/dec (reta quase horizontal) até . - A partir de
desenhe reta caindo com dB/dec. - Marque os pontos exatos calculados para
( dB), ( dB) e ( dB) para ajustar o esboço perto das quebras.
- Marque o ponto DC
- Fase:
- Comece em
para . - Entre
e a fase cai (por efeito do polo em 1 e do zero em 10); use os pontos calculados para guiar: em , em , em . - Entre
e a fase continua variando por ação do polo em 100; marque em e aprox. em . - Termine em
para .
- Comece em
- Se quiser melhorar visualmente, desenhe transições de fase suaves que iniciam uma década antes da frequência de canto e terminam uma década depois (padrão Bode).
Passo 7
Resumo pedagógico rápido (o que cada termo faz) para memorizar na prova:
- Polo em
: começa a reduzir o ganho em dB/dec a partir de e adiciona até de fase entre e . - Zero em
: compensa +20 dB/dec a partir de e adiciona até de fase entre e . - Polo em
: reduz novamente em dB/dec a partir de e adiciona de fase entre e . - Ganho DC fixo:
( dB) — ponto de partida do esboço de módulo.
Resposta
Módulo (assíntotas e pontos exatos):
- Ganho DC:
(para ). - Frequências de canto:
. - Inclinações das assíntotas:
-
: . -
: . -
: . -
: .
-
- Valores exatos úteis:
-
: . -
: . -
: . -
: .
-
Fase (fórmula e valores aproximados):
- Fórmula exata:
- Comportamento:
-
: . -
: .
-
- Valores aproximados:
-
. -
. -
. -
. -
.
-
(Com essas informações e as assíntotas indicadas você consegue esboçar os diagramas de Bode de módulo e fase: módulo iniciando em
dB, caindo entre
e
, ficando quase plano entre
e
e caindo novamente para
; fase indo de
para
com os valores listados nos pontos-chave.)