Resolva o PVI:
y^prime=(7+1)-y, y(0)=6+2

Passo 1

Temos o problema de valor inicial (PVI) dado por y'=(7+1)-y com y(0)=6+2. Isso simplifica para y'=8-y e y(0)=8. O conteúdo é uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma y'+y=8. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Colocamos em forma padrão y'+p(t)y=q(t) com p(t)=1 e q(t)=8. Calculamos o fator integrante mu(t):
mu(t)=e^integral p(t),dt=e^integral1,dt=e^t

Passo 3

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante e reconhecemos o lado esquerdo como derivada de produto:
ddtl(e^t yr)=e^t y'+e^t y=e^tl(y'+yr)=e^tcdot8=8e^t
Integrando ambos os lados em relação a t:
e^t y=integral8e^t,dt=8e^t+C,
onde C é a constante de integração. Logo,
y=8+Ce^-t

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=8:
8=y(0)=8+Ce^0=8+Cimplies C=0
Portanto, a solução do PVI é y(t)=8, uma função constante.

Resposta

y(t)=8

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