Esboce o diagrama do Lugar das Raízes para os sistemas abaixo.
\quad G(s)=\frac{s+4}{s(s+2)(s+6)}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.\n
  • Função transferida aberta: G(s)=\dfrac{s+4}{s(s+2)(s+6)}.\n
  • O que vem no enunciado (extraído diretamente de G(s)): polos em s=0, s=-2 e s=-6; zero em s=-4.\n
  • O que a questão pede: esboçar o Lugar das Raízes (root locus) para ganho K\ge 0 do sistema em malha unitária, ou seja das raízes da equação característica 1+K G(s)=0 quando K varia de 0 a +\infty.

Passo 2

Regra básica: o número de ramos do Lugar das Raízes é igual ao número de polos abertos (aqui p=3). Como há z=1 zeros finitos, teremos p-z=2 ramos que vão para o infinito (dois ramos terão assimptotas). Anoto isso:
p=3,\qquad z=1,\qquad p-z=2.

Passo 3

Localização dos polos e zeros no eixo real (marcação inicial do esboço):
  • Polos: s=0, s=-2, s=-6 (marcar com \times).
  • Zero: s=-4 (marcar com \circ).
Agora a regra do eixo real: um ponto real pertence ao Lugar das Raízes se, à sua direita, o número total de polos e zeros for ímpar. Vou testar intervalos entre os pontos reais ordenados (-\infty,-6),(-6,-4),(-4,-2),(-2,0),(0,+\infty).
Contagens (considerar para um ponto de teste em cada intervalo):
  • Para s<-6: à direita há polos em -6,-2,0 (3) e zero em -4 (1) → total 4 (par) → não pertence.
  • Para -6<s<-4 (teste s=-5): à direita polos -2,0 (2) e zero -4 (1) → total 3 (ímpar) → pertence.
  • Para -4<s<-2 (teste s=-3): à direita polos -2,0 (2) e zero -4 (0) → total 2 (par) → não pertence.
  • Para -2<s<0 (teste s=-1): à direita polo 0 (1) → total 1 (ímpar) → pertence.
  • Para s>0: nada à direita → 0 (par) → não pertence.
Conclusão: os segmentos de eixo real que fazem parte do Lugar das Raízes são
(-6,-4)\quad\text{e}\quad(-2,0).

Passo 4

Asíntotas (direção dos ramos que vão ao infinito). Fórmulas e significado:
  • O número de asíntotas é q=p-z=2.
  • Centro (centroid) das asíntotas:
\sigma_a=\frac{\sum \text{polos} - \sum \text{zeros}}{p-z} =\frac{(0)+(-2)+(-6)-(-4)}{2}=\frac{-8+4}{2}=\,-2.
  • Ângulos das asíntotas (fórmula): \theta_k=\dfrac{(2k+1)\pi}{q}, com k=0,\dots,q-1. Como q=2,
\theta_0=\frac{\pi}{2}=90^\circ,\qquad \theta_1=\frac{3\pi}{2}=270^\circ.
Interpretação: as asíntotas são verticais, passando pelo ponto real \operatorname{Re}(s)=-2; uma vai para cima e outra para baixo (direções \pm 90^\circ).

Passo 5

Pontos de breakaway / break-in (onde ramos reais se unem/separam): método prático (derivar K(s)).
Da condição \,1+K G(s)=0\Rightarrow K=-\dfrac{D(s)}{N(s)}, onde N(s)=s+4 e D(s)=s(s+2)(s+6). Assim
K(s)=-\dfrac{s(s+2)(s+6)}{s+4}.
Pontos reais de breakaway/break-in satisfazem \dfrac{dK}{ds}=0 (e devem estar em segmentos reais identificados).
Vou calcular \dfrac{dK}{ds}=0. Seja N_D(s)=-s(s+2)(s+6) (coloquei o sinal já para simplificar), escrevo K(s)=\dfrac{N_D(s)}{s+4}. Derivando e impondo numerador igual a zero:
\bigl(N_D'(s)(s+4)-N_D(s)\bigr)=0.
Fazendo as contas (mostrando os passos de forma enxuta):
N_D(s)=-s^3-8s^2-12s,\quad N_D'(s)=-3s^2-16s-12.
Substituindo e simplificando chega-se à equação cúbica
s^3+10s^2+32s+24=0.
Essa equação tem uma única raiz real (as outras duas são complexas). Encontrando numericamente a raiz real (método de tentativa ou Newton rápido) obtém-se
s\approx -1{,}069.
Esse ponto realmente pertence ao intervalo (-2,0) (o único breakaway real). Conclusão:
  • Há um breakaway em s\approx -1{,}069 onde os dois ramos do segmento (-2,0) se encontram e deixam o eixo real formando um par complexo conjugado.
  • No segmento (-6,-4) não há breakaway interno: esse ramo simplesmente vai do polo em -6 até o zero em -4.

Passo 6

Trajetórias e correspondência polos→zeros/assimptotas (interpretando tudo junto):
  • Polos: s=0,\,-2,\,-6.
  • Zero finito: s=-4.
  • O ramo originado no polo s=-6 segue sobre o eixo real no intervalo (-6,-4) e termina (quando K\to valor que leva esse ramo até o zero) em s=-4 (zero atrai exatamente um ramo).
  • Os polos em s=0 e s=-2 pertencem ao segmento real (-2,0); ao aumentar K esses dois ramos aproximam-se, se encontram no breakaway s\approx -1{,}069 e então deixam o eixo real formando um par complexo conjugado que se dirige para o infinito.
  • Esses dois ramos complexos vão para o infinito seguindo as asíntotas de ângulos 90^\circ e 270^\circ centradas em \operatorname{Re}(s)=-2 (ou seja, seguem verticalmente a partir do ponto -2 no eixo real).

Passo 7

Direção de variação de K e estabilidade (dicas práticas para o esboço e interpretação):
  • Para desenhar as setas do Lugar das Raízes: à medida que K cresce de 0 para +\infty, os ramos saem dos polos (marcados com \times) e se movem conforme descrito no passo anterior; no eixo real, para s=-5 e para s=-1 a expressão de K(s) K>0, então os segmentos identificados correspondem ao ganho positivo (nos interessa K\ge0).
  • Verificação de cruzamento do eixo imaginário (estabilidade): a polinomial característica é
P(s)=s^3+8s^2+(12+K)s+4K.
Usando o critério de Routh a primeira coluna é 1,\;8,\;12+\tfrac{K}{2},\;4K. Para K>0 todos esses termos são positivos, logo não há mudança de sinal e não há cruzamento para o semiplano direito: os polos em malha fechada permanecem no semiplano esquerdo para todo K>0. Em outras palavras, o Lugar das Raízes NÃO cruza o eixo imaginário para K>0 e o sistema em malha fechada é estável para todo K>0.

Passo 8

Como esboçar na prova (passo-a-passo prático para o desenho, sem calculadora):
  1. Desenhe o eixo real e marque os pontos 0, -2, -4 (zero) e -6. Coloque \times em 0,-2,-6 e \circ em -4.
  2. Pinte os segmentos reais (-6,-4) e (-2,0) (estes são partes do Lugar).
  3. No segmento (-2,0) marque o ponto de breakaway s\approx -1{,}07 — aí os ramos se unem e deixam o eixo.
  4. Do polo -6 desenhe um ramo que vai para a direita e termina em -4 (a zero).
  5. Dos polos 0 e -2 desenhe ramos que se aproximam, encontram-se em -1{,}07 e, a partir daí, saem como conjugados complexos simétricos em relação ao eixo real; trace-os curvando para cima e para baixo e direcionando-os verticalmente para fora, aproximando-se das assimptotas no centro -2.
  6. Desenhe a linha vertical no \operatorname{Re}(s)=-2 como centroid das asíntotas; faça setas para cima e para baixo indicando os ramos que vão para o infinito ( \pm 90^\circ).
  7. Indique as setas ao longo das curvas mostrando o sentido de aumento de K (dos polos para zeros/infinito).

Passo 9

Resumo físico/intuível (para lembrar na prova): um polo vai “ser comido” pelo zero em -4 (ramo real). Os outros dois polos formam um par complexo que se afasta do eixo real num ponto entre eles, e esses dois seguem verticalmente para o infinito em torno do centro -2. Não há cruzamento para a metade direita, logo estabilidade preservada para K>0.

Resposta

Polos em s=0,-2,-6; zero em s=-4. Segmentos no eixo real: (-6,-4) e (-2,0). Breakaway real em s\approx -1{,}069 (onde os ramos de -2 e 0 se unem e deixam o eixo). O ramo do polo -6 vai para o zero -4. Os outros dois ramos (origem em 0 e -2) formam um par complexo conjugado e seguem para o infinito pelas asíntotas de ângulo \pm 90^\circ centradas em \operatorname{Re}(s)=-2. O Lugar das Raízes não cruza o eixo imaginário para K>0 (sistema em malha fechada estável para K>0).

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