Esboce o diagrama do Lugar das Raízes para os sistemas abaixo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.\n
- Função transferida aberta:
.\n - O que vem no enunciado (extraído diretamente de
): polos em , e ; zero em .\n - O que a questão pede: esboçar o Lugar das Raízes (root locus) para ganho
do sistema em malha unitária, ou seja das raízes da equação característica quando varia de a .
Passo 2
Regra básica: o número de ramos do Lugar das Raízes é igual ao número de polos abertos (aqui
). Como há
zeros finitos, teremos
ramos que vão para o infinito (dois ramos terão assimptotas). Anoto isso:
Passo 3
Localização dos polos e zeros no eixo real (marcação inicial do esboço):
- Polos:
, , (marcar com ). - Zero:
(marcar com ).
Agora a regra do eixo real: um ponto real pertence ao Lugar das Raízes se, à sua direita, o número total de polos e zeros for ímpar. Vou testar intervalos entre os pontos reais ordenados
.
Contagens (considerar para um ponto de teste em cada intervalo):
- Para
: à direita há polos em (3) e zero em (1) → total 4 (par) → não pertence. - Para
(teste ): à direita polos (2) e zero (1) → total 3 (ímpar) → pertence. - Para
(teste ): à direita polos (2) e zero (0) → total 2 (par) → não pertence. - Para
(teste ): à direita polo (1) → total 1 (ímpar) → pertence. - Para
: nada à direita → 0 (par) → não pertence.
Conclusão: os segmentos de eixo real que fazem parte do Lugar das Raízes são
Passo 4
Asíntotas (direção dos ramos que vão ao infinito). Fórmulas e significado:
- O número de asíntotas é
. - Centro (centroid) das asíntotas:
- Ângulos das asíntotas (fórmula):
, com . Como ,
Interpretação: as asíntotas são verticais, passando pelo ponto real
; uma vai para cima e outra para baixo (direções
).
Passo 5
Pontos de breakaway / break-in (onde ramos reais se unem/separam): método prático (derivar
).
Da condição
, onde
e
. Assim
Pontos reais de breakaway/break-in satisfazem
(e devem estar em segmentos reais identificados).
Vou calcular
. Seja
(coloquei o sinal já para simplificar), escrevo
. Derivando e impondo numerador igual a zero:
Fazendo as contas (mostrando os passos de forma enxuta):
Substituindo e simplificando chega-se à equação cúbica
Essa equação tem uma única raiz real (as outras duas são complexas). Encontrando numericamente a raiz real (método de tentativa ou Newton rápido) obtém-se
Esse ponto realmente pertence ao intervalo
(o único breakaway real). Conclusão:
- Há um breakaway em
onde os dois ramos do segmento se encontram e deixam o eixo real formando um par complexo conjugado. - No segmento
não há breakaway interno: esse ramo simplesmente vai do polo em até o zero em .
Passo 6
Trajetórias e correspondência polos→zeros/assimptotas (interpretando tudo junto):
- Polos:
. - Zero finito:
. - O ramo originado no polo
segue sobre o eixo real no intervalo e termina (quando valor que leva esse ramo até o zero) em (zero atrai exatamente um ramo). - Os polos em
e pertencem ao segmento real ; ao aumentar esses dois ramos aproximam-se, se encontram no breakaway e então deixam o eixo real formando um par complexo conjugado que se dirige para o infinito. - Esses dois ramos complexos vão para o infinito seguindo as asíntotas de ângulos
e centradas em (ou seja, seguem verticalmente a partir do ponto no eixo real).
Passo 7
Direção de variação de
e estabilidade (dicas práticas para o esboço e interpretação):
- Para desenhar as setas do Lugar das Raízes: à medida que
cresce de para , os ramos saem dos polos (marcados com ) e se movem conforme descrito no passo anterior; no eixo real, para e para a expressão de dá , então os segmentos identificados correspondem ao ganho positivo (nos interessa ). - Verificação de cruzamento do eixo imaginário (estabilidade): a polinomial característica é
Usando o critério de Routh a primeira coluna é
. Para
todos esses termos são positivos, logo não há mudança de sinal e não há cruzamento para o semiplano direito: os polos em malha fechada permanecem no semiplano esquerdo para todo
. Em outras palavras, o Lugar das Raízes NÃO cruza o eixo imaginário para
e o sistema em malha fechada é estável para todo
.
Passo 8
Como esboçar na prova (passo-a-passo prático para o desenho, sem calculadora):
- Desenhe o eixo real e marque os pontos
, , (zero) e . Coloque em e em . - Pinte os segmentos reais
e (estes são partes do Lugar). - No segmento
marque o ponto de breakaway — aí os ramos se unem e deixam o eixo. - Do polo
desenhe um ramo que vai para a direita e termina em (a zero). - Dos polos
e desenhe ramos que se aproximam, encontram-se em e, a partir daí, saem como conjugados complexos simétricos em relação ao eixo real; trace-os curvando para cima e para baixo e direcionando-os verticalmente para fora, aproximando-se das assimptotas no centro . - Desenhe a linha vertical no
como centroid das asíntotas; faça setas para cima e para baixo indicando os ramos que vão para o infinito ( ). - Indique as setas ao longo das curvas mostrando o sentido de aumento de
(dos polos para zeros/infinito).
Passo 9
Resumo físico/intuível (para lembrar na prova): um polo vai “ser comido” pelo zero em
(ramo real). Os outros dois polos formam um par complexo que se afasta do eixo real num ponto entre eles, e esses dois seguem verticalmente para o infinito em torno do centro
. Não há cruzamento para a metade direita, logo estabilidade preservada para
.
Resposta
Polos em
; zero em
. Segmentos no eixo real:
e
. Breakaway real em
(onde os ramos de
e
se unem e deixam o eixo). O ramo do polo
vai para o zero
. Os outros dois ramos (origem em
e
) formam um par complexo conjugado e seguem para o infinito pelas asíntotas de ângulo
centradas em
. O Lugar das Raízes não cruza o eixo imaginário para
(sistema em malha fechada estável para
).