Esboce o diagrama do Lugar das Raízes para os sistemas abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
- Pede: esboçar o Lugar das Raízes (root locus) do sistema com função de malha aberta
- Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
- Zero(s) de
: . - Polo(s) de
: e .
- Zero(s) de
- Objetivo prático: desenhar onde as raízes do polinômio característico
se movem no plano quando varia de a .
Passo 2
Relembrando a definição básica e o que a gente vai usar.
- Lugar das raízes é o conjunto dos valores de
que satisfazem a condição de fase (ângulo) e a condição de módulo para algum , isto é os tais que - Regras práticas para esboçar (resumo curto e didático):
- Marcar polos (com
) e zeros (com ). - Traços no eixo real: ponto do eixo real pertence ao lugar se, à direita dele, houver um número ímpar de polos+zeros reais.
- O número de ramos do lugar é igual ao número de polos
. Ramos terminam em zeros finitos (se existirem) ou vão para infinito obedecendo às assíntotas. - Assíntotas: quando
(polos a mais que zeros), há assíntotas cujos ângulos são dados por e cujo centróide é - Pontos de encontro (breakaway/break-in) na reta real resolvem
com . - Para verificar sentido (se é realmente para
), calcular em pontos representativos do eixo real onde a regra (2) diz que há lugar; confirmar se .
- Marcar polos (com
Passo 3
Listar polos, zeros e números importantes.
- Polos:
e . Portanto . - Zero:
. Portanto . - Logo
: haverá exatamente uma assíntota (um ramo que vai para o infinito).
Passo 4
Determinar os trechos do eixo real que pertencem ao Lugar das Raízes.
- A regra: um ponto real
pertence ao Lugar se à sua direita houver número ímpar de polos+zeros reais. - Testes por intervalos (usar pontos fáceis):
-
(ex.: ): polos/zeros à direita = 0 → par → NÃO pertence. - Entre
e (ex.: ): à direita estão o polo (conta 1) → ímpar → pertence. - Entre
e (ex.: ): à direita estão e (contam 2) → par → NÃO pertence. -
(ex.: ): à direita estão (contam 3) → ímpar → pertence.
-
- Conclusão: os segmentos do eixo real que fazem parte do Lugar são
Passo 5
Calcular as assíntotas (centro e ângulo), já que
.
- Fórmula do centróide:
- Ângulos das assíntotas: como
, ou seja, direções (180°), (equivalente a ), etc. Na prática há uma única assíntota que aponta para a esquerda ao longo do eixo real (ângulo ). - Interpretação: o ramo que vai para infinito seguirá uma assíntota que é a reta real com interseção no ponto
e aponta para .
Passo 6
Verificar existência de pontos de breakaway/break-in (encontro/partida de raízes reais).
- Escrevemos
para aplicar . - Calcular a derivada e buscar raízes reais:
- Para
precisa que . O discriminante é . Não há raízes reais. - Conclusão: não existem pontos de breakaway/break-in reais. Ou seja, os ramos reais não se separam ou se encontram em pontos reais distintos dos polos/zeros já marcados.
Passo 7
Verificar o sinal de
em pontos representativos do lugar (confirmação de que é para
).
- Fórmula usada:
- Tomar um ponto em
, por exemplo : - Tomar um ponto em
, por exemplo : - Conclusão: os pontos testados exigem
, portanto os segmentos identificados correspondem ao Lugar para (isto é o caso usual).
Passo 8
Descrever o comportamento dos ramos e fazer o esboço mental (ou no papel).
- Temos dois ramos (porque há dois polos):
- Um ramo parte do polo
e termina no zero . Como há um zero entre os dois polos, o ramo entre e fica sobre o eixo real e vai do polo até o zero quando cresce de a . - O outro ramo parte do polo
e não tem zero finito disponível (já que foi só um zero em ). Então esse ramo vai para o infinito, seguindo a única assíntota com ângulo cujo centróide é . Na prática ele permanece no eixo real para e tende para pela esquerda (convergindo ao longo da reta real que passa por e aponta para ).
- Um ramo parte do polo
- Não há ramos complexos conjugados neste sistema (não há pares de polos ou zeros complexos), logo o esboço será inteiramente sobre o eixo real nos segmentos já indicados.
Passo 9
Observações finais práticas (o que observar na prova e como desenhar rápido).
- Marcar no eixo real:
-
em e . -
em .
-
- Traçar segmentos do root locus em:
- segmento entre
e : ramo que vai de (para ) até (quando ); - segmento à esquerda de
: ramo que sai de e vai para passando pela linha da assíntota cuja interseção com o eixo real é em e aponta para a esquerda.
- segmento entre
- Como dica visual: desenhe uma linha horizontal passando por
e uma seta para a esquerda para representar a assíntota; desenhe os dois ramos reais conforme acima. Indique que para pequeno os polos fechados estão próximos de e ; aumentando um vai para e o outro para a esquerda.
Resposta
Polos:
. Zero:
. O Lugar das Raízes para
tem traços no eixo real em
e em
. Um ramo vai do polo
até o zero
. O outro ramo vai do polo
para o infinito seguindo a assíntota única de ângulo
cujo centróide é
.