Esboce o diagrama do Lugar das Raízes para os sistemas abaixo.
\quad G(s)=\frac{s+2}{(s+1)(s+3)}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pede: esboçar o Lugar das Raízes (root locus) do sistema com função de malha aberta G(s)=\frac{s+2}{(s+1)(s+3)}.
  • Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
    • Zero(s) de G(s): s=-2.
    • Polo(s) de G(s): s=-1 e s=-3.
  • Objetivo prático: desenhar onde as raízes do polinômio característico 1+K G(s)=0 se movem no plano s quando K\ge 0 varia de 0 a +\infty.

Passo 2

Relembrando a definição básica e o que a gente vai usar.
  • Lugar das raízes é o conjunto dos valores de s que satisfazem a condição de fase (ângulo) e a condição de módulo para algum K\ge0, isto é os s tais que 1+K G(s)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad G(s) = -\frac{1}{K}.
  • Regras práticas para esboçar (resumo curto e didático):
    1. Marcar polos (com \times) e zeros (com \circ).
    2. Traços no eixo real: ponto do eixo real pertence ao lugar se, à direita dele, houver um número ímpar de polos+zeros reais.
    3. O número de ramos do lugar é igual ao número de polos n. Ramos terminam em zeros finitos (se existirem) ou vão para infinito obedecendo às assíntotas.
    4. Assíntotas: quando n-m>0 (polos a mais que zeros), há n-m assíntotas cujos ângulos são dados por \theta_k=\dfrac{(2k+1)\pi}{n-m} e cujo centróide é \sigma_a = \frac{\sum \text{(polos)}-\sum\text{(zeros)}}{\,n-m\,}.
    5. Pontos de encontro (breakaway/break-in) na reta real resolvem \dfrac{dK}{ds}=0 com K(s)=-1/G(s).
    6. Para verificar sentido (se é realmente para K\ge0), calcular K(s)=-1/G(s) em pontos representativos do eixo real onde a regra (2) diz que há lugar; confirmar se K>0.

Passo 3

Listar polos, zeros e números importantes.
  • Polos: s=-1 e s=-3. Portanto n=2.
  • Zero: s=-2. Portanto m=1.
  • Logo n-m=1: haverá exatamente uma assíntota (um ramo que vai para o infinito).

Passo 4

Determinar os trechos do eixo real que pertencem ao Lugar das Raízes.
  • A regra: um ponto real s_0 pertence ao Lugar se à sua direita houver número ímpar de polos+zeros reais.
  • Testes por intervalos (usar pontos fáceis):
    • s> -1 (ex.: s=0): polos/zeros à direita = 0 → par → NÃO pertence.
    • Entre -1 e -2 (ex.: s=-1{,}5): à direita estão o polo s=-1 (conta 1) → ímpar → pertence.
    • Entre -2 e -3 (ex.: s=-2{,}5): à direita estão s=-1 e s=-2 (contam 2) → par → NÃO pertence.
    • s<-3 (ex.: s=-4): à direita estão s=-1,s=-2,s=-3 (contam 3) → ímpar → pertence.
  • Conclusão: os segmentos do eixo real que fazem parte do Lugar são (-\infty,-3)\quad\text{e}\quad(-2,-1).

Passo 5

Calcular as assíntotas (centro e ângulo), já que n-m=1.
  • Fórmula do centróide: \sigma_a = \frac{\sum \text{polos}-\sum\text{zeros}}{n-m} = \frac{(-1)+(-3)-(-2)}{1} = \frac{-4+2}{1} = -2.
  • Ângulos das assíntotas: como n-m=1, \theta_k = \frac{(2k+1)\pi}{1} = (2k+1)\pi,ou seja, direções \pi (180°), 3\pi (equivalente a \pi), etc. Na prática há uma única assíntota que aponta para a esquerda ao longo do eixo real (ângulo 180^\circ).
  • Interpretação: o ramo que vai para infinito seguirá uma assíntota que é a reta real com interseção no ponto \sigma_a=-2 e aponta para -\infty.

Passo 6

Verificar existência de pontos de breakaway/break-in (encontro/partida de raízes reais).
  • Escrevemos K(s)=-\dfrac{1}{G(s)} para aplicar \dfrac{dK}{ds}=0. K(s) = -\frac{(s+1)(s+3)}{s+2} = -\frac{s^2+4s+3}{s+2}.
  • Calcular a derivada e buscar raízes reais: \frac{dK}{ds} = -\frac{(2s+4)(s+2)-(s^2+4s+3)\cdot 1}{(s+2)^2} = -\frac{s^2+4s+5}{(s+2)^2}.
  • Para \dfrac{dK}{ds}=0 precisa que s^2+4s+5=0. O discriminante é \Delta=4^2-4\cdot1\cdot5=16-20=-4<0. Não há raízes reais.
  • Conclusão: não existem pontos de breakaway/break-in reais. Ou seja, os ramos reais não se separam ou se encontram em pontos reais distintos dos polos/zeros já marcados.

Passo 7

Verificar o sinal de K em pontos representativos do lugar (confirmação de que é para K\ge0).
  • Fórmula usada: K(s) = -\frac{(s+1)(s+3)}{s+2}.
  • Tomar um ponto em (-2,-1), por exemplo s=-1{,}5: K(-1{,}5) = -\frac{(-0{,}5)(1{,}5)}{-1{,}5+2} = -\frac{-0{,}75}{0{,}5} = 1{,}5>0.
  • Tomar um ponto em (-\infty,-3), por exemplo s=-4: K(-4) = -\frac{(-3)(-1)}{-4+2} = -\frac{3}{-2} = 1{,}5>0.
  • Conclusão: os pontos testados exigem K>0, portanto os segmentos identificados correspondem ao Lugar para K\ge0 (isto é o caso usual).

Passo 8

Descrever o comportamento dos ramos e fazer o esboço mental (ou no papel).
  • Temos dois ramos (porque há dois polos):
    1. Um ramo parte do polo s=-1 e termina no zero s=-2. Como há um zero entre os dois polos, o ramo entre -1 e -2 fica sobre o eixo real e vai do polo até o zero quando K cresce de 0 a +\infty.
    2. O outro ramo parte do polo s=-3 e não tem zero finito disponível (já que foi só um zero em -2). Então esse ramo vai para o infinito, seguindo a única assíntota com ângulo 180^\circ cujo centróide é \sigma_a=-2. Na prática ele permanece no eixo real para s<-3 e tende para -\infty pela esquerda (convergindo ao longo da reta real que passa por -2 e aponta para -\infty).
  • Não há ramos complexos conjugados neste sistema (não há pares de polos ou zeros complexos), logo o esboço será inteiramente sobre o eixo real nos segmentos já indicados.

Passo 9

Observações finais práticas (o que observar na prova e como desenhar rápido).
  • Marcar no eixo real:
    • \times em s=-1 e s=-3.
    • \circ em s=-2.
  • Traçar segmentos do root locus em:
    • segmento entre -2 e -1: ramo que vai de -1 (para K=0) até -2 (quando K\to\infty);
    • segmento à esquerda de -3: ramo que sai de -3 e vai para -\infty passando pela linha da assíntota cuja interseção com o eixo real é em -2 e aponta para a esquerda.
  • Como dica visual: desenhe uma linha horizontal passando por -2 e uma seta para a esquerda para representar a assíntota; desenhe os dois ramos reais conforme acima. Indique que para K pequeno os polos fechados estão próximos de -1 e -3; aumentando K um vai para -2 e o outro para a esquerda.

Resposta

Polos: s=-1,\;s=-3. Zero: s=-2. O Lugar das Raízes para K\ge0 tem traços no eixo real em (-\infty,-3) e em (-2,-1). Um ramo vai do polo s=-1 até o zero s=-2. O outro ramo vai do polo s=-3 para o infinito seguindo a assíntota única de ângulo 180^\circ cujo centróide é \sigma_a=-2.

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