Esboce o diagrama do Lugar das Raízes para os sistemas abaixo.
G(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o lugar das raízes (root locus) do sistema com função de transferência em malha aberta
G(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)^{2}},
assumindo a realimentação em unidade e ganhando K positivo, ou seja a característica fechada é dada por
1+K\,G(s)=0.
Informações dadas (já todas no enunciado):
  • G(s) não tem zeros finitos.
  • Tem três polos: um em s=-1 (simples) e dois coincidentes em s=-2 (polo de multiplicidade 2).
    O que se pede: esboçar o lugar das raízes quando K varia de 0 a +\infty, indicando trechos reais, pontos de breakaway/break-in, assíntotas, centróide, ângulos das assíntotas, e eventuais cruzamentos do eixo imaginário.

Passo 2

Número de ramos e posições iniciais (em K=0):
  • Número de ramos = número de polos = 3.
  • Ramos partem dos polos em \;s=-1 (um ramo) e \;s=-2 (dois ramos, polo duplo).
    Zeros finitos: nenhum.

Passo 3

Trechos do eixo real onde o locus está presente (regra do número ímpar):
  • Para um ponto real x no eixo real, o locus existe se o número de polos+zeros à direita de x for ímpar.
    Verificando intervalos:
  • Para x<-2: à direita estão os três polos ( -2,-2,-1) → 3 (ímpar) → locus presente em (-\infty,-2).
  • Para -2<x<-1: à direita está só o polo em -1 → 1 (ímpar) → locus presente em (-2,-1).
  • Para x>-1: à direita não há polos → 0 (par) → locus ausente em (-1,\infty).
    Conclusão: o locus no eixo real está em (-\infty,-2) e em (-2,-1).

Passo 4

Assíntotas (quando K\to\infty):
  • Número de assíntotas = n_p-n_z = 3-0 = 3.
  • Ângulos das assíntotas dados por
\theta_k = \frac{(2k+1)\pi}{3},\quad k=0,1,2,
logo os ângulos são \theta= \pi/3\;(60^\circ),\; \pi\;(180^\circ),\; 5\pi/3\;(-60^\circ).
  • Centróide das assíntotas:
\sigma_a=\frac{\sum \text{polos} - \sum \text{zeros}}{n_p-n_z} =\frac{(-1)+(-2)+(-2)}{3}=\frac{-5}{3}\approx -1{,}6667.
Portanto as três assíntotas se cruzam em s=-5/3 e vão para direções 180^\circ,\pm60^\circ.

Passo 5

Pontos de breakaway / break-in (em eixo real) — método: escrever K em função de s pela equação característica e buscar dK/ds=0.
  • A equação característica é
1+K\frac{1}{(s+1)(s+2)^2}=0 \quad\Rightarrow\quad K=-(s+1)(s+2)^2.
  • Derivando:
\frac{dK}{ds}= -\frac{d}{ds}\big[(s+1)(s+2)^2\big] = -\big(3s^2+10s+8\big).
  • Zeros de dK/ds: resolver 3s^2+10s+8=0. O discriminante é \Delta=100-96=4. As raízes são
s=\frac{-10\pm2}{6}\Rightarrow s=-2,\quad s=-\tfrac{4}{3}\approx -1{,}3333.
Interpretação:
  • s=-2 corresponde ao próprio polo duplo (aqui K=0); não é um breakaway com K>0 (é o ponto inicial duplo).
  • s=-\tfrac{4}{3} (que fica dentro de (-2,-1)) é um ponto de breakaway verdadeiro: dois ramos reais se encontram aí e depois partem para o plano complexo quando K aumenta além do valor correspondente.
  • Valor de K nesse breakaway (plugando em K=-(s+1)(s+2)^2):
K\Big|_{s=-4/3}= -\big(-\tfrac{4}{3}+1\big)\big(-\tfrac{4}{3}+2\big)^2 = -\big(-\tfrac{1}{3}\big)\big(\tfrac{2}{3}\big)^2 = \frac{4}{27}\approx 0{,}14815.

Passo 6

Ângulo de saída/departure do polo duplo em s=-2 (explicação e cálculo):
  • Fórmula prática: para um polo de multiplicidade m em p_i, os ângulos das ramificações que partem de p_i são dados por
\theta = \frac{(2k+1)\pi +\sum_{j}\angle(p_i-z_j) - \sum_{p\ne p_i}\angle(p_i-p_j)}{m},
onde as somas são ângulos avaliados no ponto p_i.
  • Aqui não há zeros, há um único outro polo em p_j=-1. Para p_i=-2 temos p_i-p_j=-1 cuja angle é \pi.
  • Assim o numerador é (2k+1)\pi - \pi = 2k\pi. Dividindo por m=2 obtém-se \theta = k\pi.
  • Para k=0,1 isso dá \theta=0^\circ e \theta=180^\circ.
    Interpretação física: do polo duplo em -2 saem inicialmente dois ramos ao longo do eixo real, um para a direita (ângulo 0^\circ) e outro para a esquerda (ângulo 180^\circ). O ramo que sai para a direita encontra, mais adiante, o ramo que vem de -1 no ponto de breakaway s=-4/3 e então o par segue para o plano complexo; o ramo que sai para a esquerda segue por (-\infty,-2) rumo à assíntota de 180^\circ.

Passo 7

Comportamento dos ramos ao variar K (conectando tudo):
  • Em K=0: polos em -2 (duplo) e -1.
  • Para pequenos K>0: um ramo sai de -2 para a esquerda ao longo de (-\infty,-2); outro sai de -2 para a direita ao longo de (-2,-1) em direção a -4/3; o ramo de -1 desloca-se para a esquerda também e encontra o ramo que vem de -2 em s=-4/3 quando K=4/27.
  • Para K>4/27: os dois ramos que se encontraram em -4/3 partem como conjugados complexos simétricos, afastando-se do eixo real em direções que tendem às assíntotas de \pm60^\circ com centro em -5/3. O terceiro ramo continua para a esquerda e segue a assíntota de 180^\circ indo para -\infty.
  • Para K\to\infty: um ramo vai para -\infty (ângulo 180^\circ), e o par complexo aberto vai para infinito pelas assíntotas \pm60^\circ a partir de -5/3.

Passo 8

Cruzamento do eixo imaginário (pontos onde há raízes puramente imaginárias):
  • Característica em polinômio: (s+1)(s+2)^2 + K = s^3 +5s^2 +8s + (4+K)=0.
  • Usando o critério de Routh, a condição de fronteira de estabilidade ocorre quando um elemento da primeira coluna é zero:
    Construindo a tabela de Routh rápido:
    s^3: 1\quad 8
    s^2: 5\quad 4+K
    s^1: \dfrac{5\cdot 8 - 1\cdot(4+K)}{5}=\dfrac{36-K}{5}\quad 0
    s^0: 4+K
  • Para cruzamento no eixo imaginário precisamos que \dfrac{36-K}{5}=0\Rightarrow K=36.
  • Nesse K a equação auxiliar (da linha s^2) é 5s^2+(4+K)=5s^2+40=0, logo
s=\pm j\sqrt{8}=\pm j2\sqrt{2}\approx \pm j\,2{,}828.
Conclusão: o root locus cruza o eixo imaginário nos pontos s=\pm j2\sqrt{2} quando K=36. Para 0<K<36 os ramos complexos estão no semiplano esquerdo; para K>36 haveria instabilidade (raízes com parte real positiva). (Essa observação é útil para entender até onde os ramos ficam estáveis.)

Passo 9

Instruções práticas para o esboço (o que marcar no desenho):
  • Marcar polos: X em s=-1 e X duplo em s=-2.
  • Não há zeros.
  • Marcar trechos reais do locus: sombrear/traçar em (-\infty,-2) e (-2,-1).
  • Marcar o ponto de breakaway em s=-\tfrac{4}{3} e anotar K=\tfrac{4}{27}.
  • Marcar o centróide das assíntotas em s=-\tfrac{5}{3} e desenhar três assíntotas saindo com ângulos 180^\circ,\,\pm60^\circ.
  • Indicar o cruzamento do eixo imaginário em s=\pm j2\sqrt{2} e anotar K=36.
  • Traçar o ramo do polo duplo: uma curva para a esquerda indo a -\infty (pela assíntota 180^\circ), e a outra inicialmente para a direita até -4/3 onde se junta com o ramo vindo de -1 e segue para o par complexo que tende às assíntotas \pm60^\circ.

Resposta

Polos em s=-1 (simples) e s=-2 (duplo); nenhum zero.
Locus no eixo real em (-\infty,-2) e em (-2,-1).
Breakaway em s=-\tfrac{4}{3} com K=\tfrac{4}{27}.
Centróide das assíntotas em s=-\tfrac{5}{3}; ângulos das assíntotas \;180^\circ,\;+60^\circ,\;-60^\circ.
Cruzamento do eixo imaginário em s=\pm j2\sqrt{2} para K=36.
Esboço: um ramo vai de -2 para -\infty (real negativo), e os outros dois ramos (origem em -2 e -1) se juntam em -4/3 e seguem como conjugados complexos aproximando-se das assíntotas \pm60^\circ.

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