Esboce o diagrama do Lugar das Raízes para os sistemas abaixo. G(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o lugar das raízes (root locus) do sistema com função de transferência em malha aberta
G(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)^{2}},
assumindo a realimentação em unidade e ganhando K positivo, ou seja a característica fechada é dada por
1+K\,G(s)=0.
Informações dadas (já todas no enunciado):
G(s) não tem zeros finitos.
Tem três polos: um em s=-1 (simples) e dois coincidentes em s=-2 (polo de multiplicidade 2).
O que se pede: esboçar o lugar das raízes quando K varia de 0 a +\infty, indicando trechos reais, pontos de breakaway/break-in, assíntotas, centróide, ângulos das assíntotas, e eventuais cruzamentos do eixo imaginário.
Passo 2
Número de ramos e posições iniciais (em K=0):
Número de ramos = número de polos = 3.
Ramos partem dos polos em \;s=-1 (um ramo) e \;s=-2 (dois ramos, polo duplo).
Zeros finitos: nenhum.
Passo 3
Trechos do eixo real onde o locus está presente (regra do número ímpar):
Para um ponto real x no eixo real, o locus existe se o número de polos+zeros à direita de x for ímpar.
Verificando intervalos:
Para x<-2: à direita estão os três polos (-2,-2,-1) → 3 (ímpar) → locus presente em (-\infty,-2).
Para -2<x<-1: à direita está só o polo em -1 → 1 (ímpar) → locus presente em (-2,-1).
Para x>-1: à direita não há polos → 0 (par) → locus ausente em (-1,\infty).
Conclusão: o locus no eixo real está em (-\infty,-2) e em (-2,-1).
Passo 4
Assíntotas (quando K\to\infty):
Número de assíntotas = n_p-n_z = 3-0 = 3.
Ângulos das assíntotas dados por
\theta_k = \frac{(2k+1)\pi}{3},\quad k=0,1,2,
logo os ângulos são \theta= \pi/3\;(60^\circ),\; \pi\;(180^\circ),\; 5\pi/3\;(-60^\circ).
s=-2 corresponde ao próprio polo duplo (aqui K=0); não é um breakaway com K>0 (é o ponto inicial duplo).
s=-\tfrac{4}{3} (que fica dentro de (-2,-1)) é um ponto de breakaway verdadeiro: dois ramos reais se encontram aí e depois partem para o plano complexo quando K aumenta além do valor correspondente.
Valor de K nesse breakaway (plugando em K=-(s+1)(s+2)^2):
Aqui não há zeros, há um único outro polo em p_j=-1. Para p_i=-2 temos p_i-p_j=-1 cuja angle é \pi.
Assim o numerador é (2k+1)\pi - \pi = 2k\pi. Dividindo por m=2 obtém-se \theta = k\pi.
Para k=0,1 isso dá \theta=0^\circ e \theta=180^\circ.
Interpretação física: do polo duplo em -2 saem inicialmente dois ramos ao longo do eixo real, um para a direita (ângulo 0^\circ) e outro para a esquerda (ângulo 180^\circ). O ramo que sai para a direita encontra, mais adiante, o ramo que vem de -1 no ponto de breakaway s=-4/3 e então o par segue para o plano complexo; o ramo que sai para a esquerda segue por (-\infty,-2) rumo à assíntota de 180^\circ.
Passo 7
Comportamento dos ramos ao variar K (conectando tudo):
Em K=0: polos em -2 (duplo) e -1.
Para pequenos K>0: um ramo sai de -2 para a esquerda ao longo de (-\infty,-2); outro sai de -2 para a direita ao longo de (-2,-1) em direção a -4/3; o ramo de -1 desloca-se para a esquerda também e encontra o ramo que vem de -2 em s=-4/3 quando K=4/27.
Para K>4/27: os dois ramos que se encontraram em -4/3 partem como conjugados complexos simétricos, afastando-se do eixo real em direções que tendem às assíntotas de \pm60^\circ com centro em -5/3. O terceiro ramo continua para a esquerda e segue a assíntota de 180^\circ indo para -\infty.
Para K\to\infty: um ramo vai para -\infty (ângulo 180^\circ), e o par complexo aberto vai para infinito pelas assíntotas \pm60^\circ a partir de -5/3.
Passo 8
Cruzamento do eixo imaginário (pontos onde há raízes puramente imaginárias):
Característica em polinômio: (s+1)(s+2)^2 + K = s^3 +5s^2 +8s + (4+K)=0.
Usando o critério de Routh, a condição de fronteira de estabilidade ocorre quando um elemento da primeira coluna é zero:
Construindo a tabela de Routh rápido:
s^3: 1\quad 8
s^2: 5\quad 4+K
s^1: \dfrac{5\cdot 8 - 1\cdot(4+K)}{5}=\dfrac{36-K}{5}\quad 0
s^0: 4+K
Para cruzamento no eixo imaginário precisamos que \dfrac{36-K}{5}=0\Rightarrow K=36.
Nesse K a equação auxiliar (da linha s^2) é 5s^2+(4+K)=5s^2+40=0, logo
Conclusão: o root locus cruza o eixo imaginário nos pontos s=\pm j2\sqrt{2} quando K=36. Para 0<K<36 os ramos complexos estão no semiplano esquerdo; para K>36 haveria instabilidade (raízes com parte real positiva). (Essa observação é útil para entender até onde os ramos ficam estáveis.)
Passo 9
Instruções práticas para o esboço (o que marcar no desenho):
Marcar polos: X em s=-1 e X duplo em s=-2.
Não há zeros.
Marcar trechos reais do locus: sombrear/traçar em (-\infty,-2) e (-2,-1).
Marcar o ponto de breakaway em s=-\tfrac{4}{3} e anotar K=\tfrac{4}{27}.
Marcar o centróide das assíntotas em s=-\tfrac{5}{3} e desenhar três assíntotas saindo com ângulos 180^\circ,\,\pm60^\circ.
Indicar o cruzamento do eixo imaginário em s=\pm j2\sqrt{2} e anotar K=36.
Traçar o ramo do polo duplo: uma curva para a esquerda indo a -\infty (pela assíntota 180^\circ), e a outra inicialmente para a direita até -4/3 onde se junta com o ramo vindo de -1 e segue para o par complexo que tende às assíntotas \pm60^\circ.
Resposta
Polos em s=-1 (simples) e s=-2 (duplo); nenhum zero.
Locus no eixo real em (-\infty,-2) e em (-2,-1).
Breakaway em s=-\tfrac{4}{3} com K=\tfrac{4}{27}.
Centróide das assíntotas em s=-\tfrac{5}{3}; ângulos das assíntotas \;180^\circ,\;+60^\circ,\;-60^\circ.
Cruzamento do eixo imaginário em s=\pm j2\sqrt{2} para K=36.
Esboço: um ramo vai de -2 para -\infty (real negativo), e os outros dois ramos (origem em -2 e -1) se juntam em -4/3 e seguem como conjugados complexos aproximando-se das assíntotas \pm60^\circ.