Se o sistema for de estados observáveis, encontrar os ganhos L que minimizam a função do filtro de Kalman com os pesos W e V dados abaixo. O sistema é estável? Justifique-se. Qual o significado das ponderações adotadas? Quais são as conseqüências para o controle?
W=0,01\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right] \quad V=0,01\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para, dado um sistema de estados observável, calcular o ganho de filtro de Kalman L que minimiza o critério de estimação quando as covariâncias do ruído de processo e de medição são
W = 0{,}01\,I_{2}, \quad V = 0{,}01\,I_{2}.
Também se pergunta se o sistema estimador é estável, qual o significado físico das ponderações em W e V, e quais as consequências disso para o projeto de controle.

Passo 2

Para obter explicitamente o ganho L do filtro de Kalman precisamos conhecer as matrizes de estado e de saída do sistema, tipicamente denotadas por A e C. O cálculo de L envolve resolver a Equação de Riccati
A P + P A^\top - P C^\top V^{-1} C P + W = 0
e então
L = P C^\top V^{-1}.
Como o enunciado não fornece nem A nem C, não há dados suficientes para obter P nem, consequentemente, L.

Resposta

Não é possível calcular os ganhos L nem verificar a estabilidade do filtro sem as matrizes A e C do sistema. As ponderações em W e V indicam que damos igual importância (variância de 0,01) ao ruído de processo e ao ruído de medida. Em geral, ruído de processo pequeno faz o filtro confiar mais no modelo, e ruído de medida pequeno faz confiar mais na medição; isso afeta diretamente a banda passante do estimador e sua velocidade de convergência, o que por sua vez influencia a sintonia do controlador em malha fechada.

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