Esboce o domínio, algumas curvas de nível e o gráfico de f.
f(x, y)=6-2 x-3 y.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função f(x,y)=6-2x-3y:
  • Esboçar o domínio.
  • Esboçar algumas curvas de nível (isto é, as curvas onde f(x,y)= constante).
  • Esboçar o gráfico de f (a superfície z=f(x,y) em \mathbb{R}^3).
Informações dadas:
  • A própria definição f(x,y)=6-2x-3y, válida para quaisquer valores reais de x e y.

Passo 2

Determinar o domínio.
  • A função é uma expressão polinomial em x e y, sem divisões por zero ou raízes pares de números negativos etc. Logo o domínio é todo o plano.
  • Portanto o domínio é \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\}.
Explicação rápida (para prova): sempre que a expressão for polinomial (soma de monômios) o domínio é todo \mathbb{R}^2, porque polinômios estão definidos para qualquer x,y.

Passo 3

Encontrar as curvas de nível em forma geral.
  • Curvas de nível correspondem a fixar um valor c para f: isto é resolver
f(x,y)=c \quad\Longrightarrow\quad 6-2x-3y=c.
  • Reescrevendo,
2x+3y=6-c.
  • Essa é a equação de uma reta no plano xy. Assim, todas as curvas de nível são retas paralelas, uma para cada c.
Interpretação didática: curvas de nível são lugares onde a superfície tem a mesma altura z=c. Para funções lineares como essa, essas regiões de mesma altura são retas (porque a superfície é um plano).

Passo 4

Esboçar algumas curvas de nível concretas (escolha de valores c).
  • Pegue alguns valores simples: c=6,\; c=3,\; c=0,\; c=-3. Para cada um temos:
    • Para c=6:
    2x+3y=0 \quad\Rightarrow\quad y=-\tfrac{2}{3}x.
    • Para c=3:
    2x+3y=3 \quad\Rightarrow\quad y=1-\tfrac{2}{3}x.
    • Para c=0:
    2x+3y=6 \quad\Rightarrow\quad y=2-\tfrac{2}{3}x.
    • Para c=-3:
    2x+3y=9 \quad\Rightarrow\quad y=3-\tfrac{2}{3}x.
  • Observações práticas para desenhar:
    • Todas têm coeficiente angular -\tfrac{2}{3} (são paralelas).
    • Intercepto em y é y=(6-c)/3; assim mudar c desloca a reta verticalmente.
    • Distância perpendicular entre duas curvas de níveis correspondentes a c e c+\Delta c é |\Delta c|/\sqrt{2^2+3^2}=|\Delta c|/\sqrt{13}. Isso mostra que linhas correspondentes a diferenças constantes de c estão igualmente espaçadas.
Como desenhar no plano xy: marque algumas interseções (por exemplo para c=0 a reta cruza os eixos em (3,0) e (0,2)); para c=3 cruza y em 1 e assim por diante. Ligue os pontos para obter retas paralelas.

Passo 5

Entender o gráfico em \mathbb{R}^3: a superfície z=f(x,y).
  • A equação é
z=6-2x-3y.
  • Reescrevendo em forma padrão de plano:
2x+3y+z=6,
portanto a superfície é um plano em \mathbb{R}^3.
Propriedades úteis para esboçar:
  • Intersecção com o eixo z ( x=0,y=0): z(0,0)=6,
então o plano passa por (0,0,6).
  • Intersecção com o eixo x ( y=0,z=0): resolver 0=6-2x x=3, ponto (3,0,0).
  • Intersecção com o eixo y ( x=0,z=0): resolver 0=6-3y y=2, ponto (0,2,0).
  • Três pontos não-colineares definem um plano: portanto os pontos (3,0,0), (0,2,0) e (0,0,6) permitem desenhá-lo no esboço.

Passo 6

Como esboçar concretamente o plano passo a passo (na prova, sem calculadora).
  • Desenhe um sistema de eixos x,y,z. No plano xy marque os pontos (3,0,0) e (0,2,0) — são onde a superfície corta o plano z=0.
  • Marque o ponto (0,0,6) no eixo z.
  • Ligue esses três pontos por um polígono (triângulo) e estenda as faces; isso já representa visualmente o plano.
  • Para dar mais “aranha” de superfície, desenhe algumas linhas de nível no plano z= constantes: por exemplo a linha de nível c=0 corresponde à interseção do plano com z=0 (a reta que liga (3,0,0) a (0,2,0)). Outras retas de nível correspondem a interseções com planos horizontais z=c.

Passo 7

Interpretação via derivadas parciais (ajuda a entender inclinações).
  • Derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=-2,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-3.
  • Isso significa que, mantendo y fixo, a função decresce com taxa 2 por unidade de x; mantendo x fixo, decresce com taxa 3 por unidade de y. Na prática: mover-se uma unidade na direção positiva de x baixa a altura z em 2; mover-se uma unidade na direção positiva de y baixa z em 3. Esses números ajudam a visualizar a inclinação da superfície.

Passo 8

Pequeno resumo prático para desenho final (o que riscar no papel):
  • No plano xy: desenhar várias retas paralelas de inclinação -\tfrac{2}{3} correspondentes a c=6,3,0,-3 (ou outra escolha), marcando as interceptações y=(6-c)/3.
  • Em \mathbb{R}^3: marcar (0,0,6), (3,0,0), (0,2,0) e passar um plano por esses pontos; adicionar algumas linhas de nível (interseções com planos horizontais) para ligar visualmente com o esboço no plano xy.
  • Mensagem de incentivo: esse tipo de função é simples — plano e retas paralelas — então capriche em marcar pontos exatos e as inclinações; isso já dá um esboço correto e rápido na prova.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^2.
Curvas de nível: família de retas \;2x+3y=6-c\; para cada c. Exemplos:
\;c=6:\;y=-\tfrac{2}{3}x,\qquad c=3:\;y=1-\tfrac{2}{3}x,\qquad c=0:\;y=2-\tfrac{2}{3}x.
Gráfico: plano z=6-2x-3y que passa pelos pontos (0,0,6), (3,0,0) e (0,2,0); normal ao plano (2,3,1); inclinações dadas por \partial f/\partial x=-2 e \partial f/\partial y=-3.

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