Esboce o domínio, algumas curvas de nível e o gráfico de
.
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
:
- Esboçar o domínio.
- Esboçar algumas curvas de nível (isto é, as curvas onde
constante). - Esboçar o gráfico de
(a superfície em ).
Informações dadas:
- A própria definição
, válida para quaisquer valores reais de e .
Passo 2
Determinar o domínio.
- A função é uma expressão polinomial em
e , sem divisões por zero ou raízes pares de números negativos etc. Logo o domínio é todo o plano. - Portanto o domínio é
.
Explicação rápida (para prova): sempre que a expressão for polinomial (soma de monômios) o domínio é todo
, porque polinômios estão definidos para qualquer
.
Passo 3
Encontrar as curvas de nível em forma geral.
- Curvas de nível correspondem a fixar um valor
para : isto é resolver
- Reescrevendo,
- Essa é a equação de uma reta no plano
. Assim, todas as curvas de nível são retas paralelas, uma para cada .
Interpretação didática: curvas de nível são lugares onde a superfície tem a mesma altura
. Para funções lineares como essa, essas regiões de mesma altura são retas (porque a superfície é um plano).
Passo 4
Esboçar algumas curvas de nível concretas (escolha de valores
).
- Pegue alguns valores simples:
. Para cada um temos: - Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
- Observações práticas para desenhar:
- Todas têm coeficiente angular
(são paralelas). - Intercepto em
é ; assim mudar desloca a reta verticalmente. - Distância perpendicular entre duas curvas de níveis correspondentes a
e é . Isso mostra que linhas correspondentes a diferenças constantes de estão igualmente espaçadas.
- Todas têm coeficiente angular
Como desenhar no plano
: marque algumas interseções (por exemplo para
a reta cruza os eixos em
e
); para
cruza
em
e assim por diante. Ligue os pontos para obter retas paralelas.
Passo 5
Entender o gráfico em
: a superfície
.
- A equação é
- Reescrevendo em forma padrão de plano:
portanto a superfície é um plano em
.
Propriedades úteis para esboçar:
- Intersecção com o eixo
( ):
então o plano passa por
.
- Intersecção com o eixo
( ): resolver dá , ponto . - Intersecção com o eixo
( ): resolver dá , ponto . - Três pontos não-colineares definem um plano: portanto os pontos
, e permitem desenhá-lo no esboço.
Passo 6
Como esboçar concretamente o plano passo a passo (na prova, sem calculadora).
- Desenhe um sistema de eixos
. No plano marque os pontos e — são onde a superfície corta o plano . - Marque o ponto
no eixo . - Ligue esses três pontos por um polígono (triângulo) e estenda as faces; isso já representa visualmente o plano.
- Para dar mais “aranha” de superfície, desenhe algumas linhas de nível no plano
constantes: por exemplo a linha de nível corresponde à interseção do plano com (a reta que liga a ). Outras retas de nível correspondem a interseções com planos horizontais .
Passo 7
Interpretação via derivadas parciais (ajuda a entender inclinações).
- Derivadas parciais:
- Isso significa que, mantendo
fixo, a função decresce com taxa por unidade de ; mantendo fixo, decresce com taxa por unidade de . Na prática: mover-se uma unidade na direção positiva de baixa a altura em ; mover-se uma unidade na direção positiva de baixa em . Esses números ajudam a visualizar a inclinação da superfície.
Passo 8
Pequeno resumo prático para desenho final (o que riscar no papel):
- No plano
: desenhar várias retas paralelas de inclinação correspondentes a (ou outra escolha), marcando as interceptações . - Em
: marcar , , e passar um plano por esses pontos; adicionar algumas linhas de nível (interseções com planos horizontais) para ligar visualmente com o esboço no plano . - Mensagem de incentivo: esse tipo de função é simples — plano e retas paralelas — então capriche em marcar pontos exatos e as inclinações; isso já dá um esboço correto e rápido na prova.
Resposta
Domínio:
.
Curvas de nível: família de retas
para cada
. Exemplos:
Gráfico: plano
que passa pelos pontos
,
e
; normal ao plano
; inclinações dadas por
e
.