Descreva e esboce o domínio de
e ache os valores funcionais indicados:
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede duas coisas. Informações fornecidas:
- A função é
.
O que o enunciado pede: - Descrever e esboçar o domínio de
. - Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Condição necessária para a função estar bem definida: como aparece um logaritmo natural, é obrigatório que o argumento do logaritmo seja estritamente positivo. Ou seja, devemos exigir
Isto é a condição que define o domínio de
. Vou trabalhar essa desigualdade para entender sua geometria.
Passo 3
Reescrevendo a desigualdade em uma forma conhecida:
Podemos dividir por
(nem precisa), mas para reconhecer uma elipse é útil colocar na forma padrão. Escrevendo
a igualdade de fronteira é
que é a equação de uma elipse centrada na origem.
Passo 4
Interpretação geométrica da fronteira:
- A elipse
tem semi-eixo em dado por
e semi-eixo em
dado por
Os pontos de interseção com os eixos são
e
.
Passo 5
Determinação do domínio pela desigualdade: a condição
seleciona os pontos cujo valor de
é maior que
. A região correspondente é o conjunto de todos os pontos exteriores à elipse de fronteira
. Observações importantes:
- A fronteira da elipse (onde
) NÃO faz parte do domínio porque a desigualdade é estrita ( ). - O domínio é a região externa à elipse, é uma região aberta e ilimitada em
.
Passo 6
Como esboçar o domínio (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe os eixos
e . - Marque os pontos
no eixo e no eixo . - Desenhe a elipse que passa por esses quatro pontos.
- Sombreie (ou indique) a região fora dessa elipse — é essa região exterior que é o domínio. Não sombreie a elipse em si.
Passo 7
Agora calcular
. Primeiro verifico o argumento do logaritmo:
Como
, o ponto
pertence ao domínio e o valor da função é
Comentário didático: sempre que for avaliar
em um ponto, primeiro verificar a condição
; só então calcular o
.
Passo 8
Calcular
. Verifico o argumento:
Como
, o ponto
pertence ao domínio e
Podemos simplificar usando potência de
:
.