Descreva e esboce o domínio de f e ache os valores funcionais indicados:
f(x, y)=\ln \left(2 x^{2}+y^{2}-1\right) ; f(1,1) e f(2,-1).

Passo 1

O enunciado nos dá a função f e pede duas coisas. Informações fornecidas:
  • A função é f(x,y)=\ln\!\bigl(2x^{2}+y^{2}-1\bigr).
    O que o enunciado pede:
  • Descrever e esboçar o domínio de f.
  • Calcular f(1,1).
  • Calcular f(2,-1).

Passo 2

Condição necessária para a função estar bem definida: como aparece um logaritmo natural, é obrigatório que o argumento do logaritmo seja estritamente positivo. Ou seja, devemos exigir
2x^{2}+y^{2}-1>0.
Isto é a condição que define o domínio de f. Vou trabalhar essa desigualdade para entender sua geometria.

Passo 3

Reescrevendo a desigualdade em uma forma conhecida:
2x^{2}+y^{2}>1.
Podemos dividir por 1 (nem precisa), mas para reconhecer uma elipse é útil colocar na forma padrão. Escrevendo
\frac{x^{2}}{1/2}+\frac{y^{2}}{1}>1,
a igualdade de fronteira é
\frac{x^{2}}{1/2}+\frac{y^{2}}{1}=1,
que é a equação de uma elipse centrada na origem.

Passo 4

Interpretação geométrica da fronteira:
  • A elipse \dfrac{x^{2}}{1/2}+\dfrac{y^{2}}{1}=1 tem semi-eixo em x dado por
a_x=\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx0,7071,
e semi-eixo em y dado por
a_y=\sqrt{1}=1.
Os pontos de interseção com os eixos são \bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\bigr) e (0,\pm1).

Passo 5

Determinação do domínio pela desigualdade: a condição 2x^{2}+y^{2}>1 seleciona os pontos cujo valor de 2x^{2}+y^{2} é maior que 1. A região correspondente é o conjunto de todos os pontos exteriores à elipse de fronteira 2x^{2}+y^{2}=1. Observações importantes:
  • A fronteira da elipse (onde 2x^{2}+y^{2}=1) NÃO faz parte do domínio porque a desigualdade é estrita ( >).
  • O domínio é a região externa à elipse, é uma região aberta e ilimitada em \mathbb{R}^{2}.

Passo 6

Como esboçar o domínio (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque os pontos \bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\bigr) no eixo x e (0,\pm1) no eixo y.
  3. Desenhe a elipse que passa por esses quatro pontos.
  4. Sombreie (ou indique) a região fora dessa elipse — é essa região exterior que é o domínio. Não sombreie a elipse em si.

Passo 7

Agora calcular f(1,1). Primeiro verifico o argumento do logaritmo:
2\cdot 1^{2}+1^{2}-1=2+1-1=2.
Como 2>0, o ponto (1,1) pertence ao domínio e o valor da função é
f(1,1)=\ln(2).
Comentário didático: sempre que for avaliar f em um ponto, primeiro verificar a condição 2x^{2}+y^{2}-1>0; só então calcular o \ln.

Passo 8

Calcular f(2,-1). Verifico o argumento:
2\cdot 2^{2}+(-1)^{2}-1=2\cdot4+1-1=8.
Como 8>0, o ponto (2,-1) pertence ao domínio e
f(2,-1)=\ln(8).
Podemos simplificar usando potência de 2: \ln(8)=\ln(2^{3})=3\ln(2).

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:2x^{2}+y^{2}>1\} (região exterior à elipse 2x^{2}+y^{2}=1)
f(1,1)=\ln(2)
f(2,-1)=\ln(8)=3\ln(2)

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