Esboce o domínio, as curvas de nível e o gráfico da função abaixo.
Passo 1
Vamos recapitular o que o enunciado pede: esboçar o domínio, as curvas de nível e o gráfico da função f(x,y)=e{x2+y^2}. O conteúdo é de funções de duas variáveis, com foco em domínio em
, definição de curva de nível e esboço de superfícies em 3D.
Passo 2
Para encontrar o domínio, observamos que a função exponencial está definida para todo número real e que
também é definido para todo
. Logo, o domínio é todo o plano:
.
Passo 3
Curvas de nível são os conjuntos onde
, uma constante. Partindo de
tomamos logaritmo natural (lembrando que
), obtendo
Isso mostra que cada curva de nível é um círculo centrado na origem de raio
, válido apenas para
.
Passo 4
Para esboçar as curvas de nível, basta desenhar círculos concêntricos: quando
aumenta,
aumenta e o raio cresce. Por exemplo, para
o círculo é degenerado (raio zero); para
temos raio 1.
Passo 5
O gráfico da função é uma superfície de revolução em torno do eixo
, pois
depende só de
. Se cortarmos por um plano que passe pela origem, temos a curva
, que cresce rapidamente. No conjunto, a superfície lembra um “bowl” que se eleva exponencialmente à medida que nos afastamos da origem.
Resposta
Domínio:
.
Curvas de nível: círculos de equação para cada
.
Gráfico: superfície de revolução do tipo “bowl” com , simétrica e crescendo exponencialmente em relação à distância ao eixo.
Curvas de nível: círculos de equação
Gráfico: superfície de revolução do tipo “bowl” com