Esboce o domínio, as curvas de nível e o gráfico da função abaixo.
f(x, y)=e^x^2+y^2

Passo 1

Vamos recapitular o que o enunciado pede: esboçar o domínio, as curvas de nível e o gráfico da função f(x,y)=e{x2+y^2}. O conteúdo é de funções de duas variáveis, com foco em domínio em R^2, definição de curva de nível e esboço de superfícies em 3D.

Passo 2

Para encontrar o domínio, observamos que a função exponencial está definida para todo número real e que x^2+y^2 também é definido para todo (x,y). Logo, o domínio é todo o plano:
R^2.

Passo 3

Curvas de nível são os conjuntos onde f(x,y)=c, uma constante. Partindo de
e^x^2+y^2=c
tomamos logaritmo natural (lembrando que c>0), obtendo
x^2+y^2=ln c
Isso mostra que cada curva de nível é um círculo centrado na origem de raio raizln c, válido apenas para c>0.

Passo 4

Para esboçar as curvas de nível, basta desenhar círculos concêntricos: quando c aumenta, ln c aumenta e o raio cresce. Por exemplo, para c=1 o círculo é degenerado (raio zero); para c=e temos raio 1.

Passo 5

O gráfico da função é uma superfície de revolução em torno do eixo z, pois f depende só de r^2=x^2+y^2. Se cortarmos por um plano que passe pela origem, temos a curva z=e^r^2, que cresce rapidamente. No conjunto, a superfície lembra um “bowl” que se eleva exponencialmente à medida que nos afastamos da origem.

Resposta

Domínio: R^2.
Curvas de nível: círculos de equação x^2+y^2=ln c para cada c>0.
Gráfico: superfície de revolução do tipo “bowl” com z=e^r^2, simétrica e crescendo exponencialmente em relação à distância ao eixo.

Exercícios relacionados