Seja phi: R R diferenciável. Mostre que
z=phi(x^2-y^2) satisfaz a equação y zx+x zy=0;

Passo 1

Temos phi:RR diferenciável e definimos z(x,y)=phi(x^2-y^2). O conteúdo é derivadas parciais e regra da cadeia. Vamos calcular zx e zy e mostrar que y,zx + x,zy = 0.

Passo 2

Para calcular as derivadas parciais, usamos a regra da cadeia. Seja u = x^2 - y^2, então z(x,y)=phi(u). Dessa forma temos
zx = phi'(u)partial upartial x = phi'(x^2 - y^2)cdot 2x,
zy = phi'(u)partial upartial y = phi'(x^2 - y^2)cdot(-2y)

Passo 3

Agora substituímos em y,zx + x,zy e simplificamos:
y,zx + x,zy = yl(2xphi'(x^2-y^2)r) + xl(-2yphi'(x^2-y^2)r) = 2xyphi'(x^2-y^2) - 2xyphi'(x^2-y^2) = 0

Resposta

0

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