Esboce o domínio de f(x, y).
f(x, y)=3 x^{2} \sqrt{y}-1

Passo 1

O enunciado pede: "Esboce o domínio de f(x,y)" onde a função é dada por f(x,y)=3x^{2}\sqrt{y}-1.
Informações relevantes fornecidas: a expressão tem um termo \sqrt{y} e também x^{2}. Não há outras restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Aqui precisamos lembrar uma coisa fundamental sobre a raiz quadrada: a função raiz quadrada real \sqrt{\cdot} está definida apenas para radicandos não negativos. Ou seja, para que \sqrt{y} seja um número real devemos ter \;y\ge 0\;. Essa é a única restrição que vem do \sqrt{y}. Explicando passo a passo: “radicando” é o valor dentro da raiz (aqui y). Se y<0 teríamos uma raiz de número negativo, o que não é um número real — portanto a função não estaria definida (no contexto de funções reais).
Agora olhamos para o fator 3x^{2}. O que o x^{2} impõe sobre x? Nada que restrinja a existência do valor: x^{2} está definido para todo x\in\mathbb{R}. Multiplicar por 3 e subtrair 1 também não cria restrições adicionais. Portanto x pode ser qualquer número real.

Passo 3

Combinando as conclusões: a única condição para (x,y) ser um ponto do domínio é que y seja maior ou igual a zero, enquanto x é livre. Em notação de conjuntos, o domínio D é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y\ge 0\}.

Passo 4

Como esboçar isso no plano xy (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhe os eixos x (horizontal) e y (vertical).
  2. Desenhe a reta horizontal \;y=0\; (eixo x) como uma linha sólida — porque pontos com \;y=0\; são permitidos (a raiz de 0 é 0).
  3. Sombrie (pinte) a região acima dessa reta, ou seja, toda a região com \;y>0\; e inclua a própria reta \;y=0\;. Essa região sombreada é o domínio. Para indicar concretamente que a reta faz parte do domínio, use linha sólida e não tracejada.

Passo 5

Exemplos para fixar e testar a intuição:
  • O ponto (1,4) pertence ao domínio porque 4\ge 0. De fato f(1,4)=3\cdot 1^{2}\cdot\sqrt{4}-1=3\cdot1\cdot2-1=5.
  • O ponto (2,0{,}25) pertence ao domínio porque 0{,}25\ge 0. Aqui \sqrt{0{,}25}=0{,}5 então f(2,0{,}25)=3\cdot 4\cdot 0{,}5-1=6-1=5.
  • O ponto (0,-1) não pertence ao domínio porque -1<0 e \sqrt{-1} não é real — logo f(0,-1) não está definida como número real.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y\ge 0\}

Exercícios relacionados