Esboce o domínio de f(x, y).
f(x, y)=\ln \left(1-x^{2}-y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o domínio da função f(x,y)=\ln\left(1-x^{2}-y^{2}\right).
Informações dadas: a função é a função logaritmo natural aplicada à expressão 1-x^{2}-y^{2}.
Pergunta explícita: qual é o conjunto de pontos (x,y) nos quais f está definida (ou seja, o domínio) e como esboçar esse conjunto no plano?

Passo 2

Lembrete importante (aulas de reforço curta e direta): a função \ln(t) está definida apenas quando o argumento t é estritamente positivo. Em outras palavras, para que \ln(t) exista (no conjunto dos números reais) precisamos ter
t>0.
Aqui t é o que está dentro do logaritmo. Vou aplicar isso ao nosso caso.

Passo 3

Aplicando a condição anterior ao argumento 1-x^{2}-y^{2} temos a desigualdade
1-x^{2}-y^{2}>0.
Agora vou manipular essa desigualdade de forma bem explícita para deixar mais claro o conjunto de pontos que a satisfaz.

Passo 4

Somando x^{2}+y^{2} em ambos os lados da desigualdade obtemos
1> x^{2}+y^{2},
que é a mesma coisa que
x^{2}+y^{2}<1.
Expliquei cada passo: começamos com 1-x^{2}-y^{2}>0, somei x^{2}+y^{2} para isolar o termo quadrático; isso resulta em x^{2}+y^{2}<1.

Passo 5

Interpretação geométrica (a parte visual, que ajuda muito na prova): a condição \;x^{2}+y^{2}<1\; significa que a distância do ponto (x,y) à origem (0,0) é menor que 1. Formalmente, a distância é \sqrt{x^{2}+y^{2}}, então \sqrt{x^{2}+y^{2}}<1 equivale à desigualdade acima. Portanto o domínio é o disco aberto de raio 1 centrado na origem.

Passo 6

Como esboçar passo a passo (faça assim na prova, sem sofrimento):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque os pontos 1 e -1 em ambos os eixos.
  3. Desenhe a circunferência de raio 1 centrada em (0,0). Use traço pontilhado ou tracejado para a borda, porque a desigualdade é estrita ( <1), então a fronteira não faz parte do domínio.
  4. Sombreie a região interna a essa circunferência (sem incluir a borda). Esse sombreamento é o domínio.

Passo 7

Exemplos rápidos para ganhar intuição e treinar no tempo da prova:
  • O ponto (0,0): 0^{2}+0^{2}=0<1 → pertence ao domínio.
  • O ponto (1,0): 1^{2}+0^{2}=1 → não pertence (porque a desigualdade é estrita, o argumento do ln seria zero).
  • O ponto (0{,}7,0{,}7): (0{,}7)^{2}+(0{,}7)^{2}=0{,}49+0{,}49=0{,}98<1 → pertence ao domínio.
  • O ponto (0{,}8,0{,}8): 0{,}64+0{,}64=1{,}28>1 → não pertence.

Passo 8

Representação alternativa (útil em problemas com integrais ou mudança de variável): em coordenadas polares (r,\theta) temos x^{2}+y^{2}=r^{2}. A condição vira
r^{2}<1 \quad\Rightarrow\quad 0\le r<1,
com \theta livre em [0,2\pi). Isso confirma que é o disco aberto de raio 1.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}<1\}

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