Esboce o domínio de
.
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o domínio da função
.
Informações dadas: a função é a função logaritmo natural aplicada à expressão .
Pergunta explícita: qual é o conjunto de pontos nos quais
está definida (ou seja, o domínio) e como esboçar esse conjunto no plano?
Informações dadas: a função é a função logaritmo natural aplicada à expressão
Pergunta explícita: qual é o conjunto de pontos
Passo 2
Lembrete importante (aulas de reforço curta e direta): a função
está definida apenas quando o argumento
é estritamente positivo. Em outras palavras, para que
exista (no conjunto dos números reais) precisamos ter
Aqui
é o que está dentro do logaritmo. Vou aplicar isso ao nosso caso.
Passo 3
Aplicando a condição anterior ao argumento
temos a desigualdade
Agora vou manipular essa desigualdade de forma bem explícita para deixar mais claro o conjunto de pontos que a satisfaz.
Passo 4
Somando
em ambos os lados da desigualdade obtemos
que é a mesma coisa que
Expliquei cada passo: começamos com
, somei
para isolar o termo quadrático; isso resulta em
.
Passo 5
Interpretação geométrica (a parte visual, que ajuda muito na prova): a condição
significa que a distância do ponto
à origem
é menor que
. Formalmente, a distância é
, então
equivale à desigualdade acima. Portanto o domínio é o disco aberto de raio
centrado na origem.
Passo 6
Como esboçar passo a passo (faça assim na prova, sem sofrimento):
- Desenhe os eixos
e . - Marque os pontos
e em ambos os eixos. - Desenhe a circunferência de raio
centrada em . Use traço pontilhado ou tracejado para a borda, porque a desigualdade é estrita ( ), então a fronteira não faz parte do domínio. - Sombreie a região interna a essa circunferência (sem incluir a borda). Esse sombreamento é o domínio.
Passo 7
Exemplos rápidos para ganhar intuição e treinar no tempo da prova:
- O ponto
: → pertence ao domínio. - O ponto
: → não pertence (porque a desigualdade é estrita, o argumento do ln seria zero). - O ponto
: → pertence ao domínio. - O ponto
: → não pertence.
Passo 8
Representação alternativa (útil em problemas com integrais ou mudança de variável): em coordenadas polares
temos
. A condição vira
com
livre em
. Isso confirma que é o disco aberto de raio
.