Represente graficamente o domínio da função
Passo 1
O enunciado pede que eu represente graficamente o domínio da função
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
- A função tem duas raízes quadradas:
e . - Para que
seja real, cada radicando deve ser maior ou igual a zero. - O que se pede é o conjunto de todos os pontos
para os quais a soma está bem definida (ou seja, o domínio).
Passo 2
Condição para existência das raízes: explicar a ideia (mini-aula rápida)
Aplicando isso aos dois radicandos do problema obtemos o sistema de desigualdades (isto é informação que veio do próprio enunciado aplicada à regra acima):
Isolando
em cada uma:
Interpretação geométrica imediata: cada desigualdade descreve a região do plano que está por cima (ou em) da curva de igualdade respectiva. O domínio será a interseção dessas duas regiões.
Passo 3
Escrever o domínio em notação de conjunto e em forma compacta:
Outra forma útil:
Explicação didática: isso significa que, para cada abscissa
, o valor mínimo permitido de
é o maior entre
e
. No gráfico, traçamos as duas curvas e tomamos a região acima da curva mais alta em cada
.
Passo 4
Encontrar os pontos de interseção das duas fronteiras (onde as duas curvas se cruzam) — passo a passo:
igualando as duas expressões para ,
igualando as duas expressões para
Rearranjando:
Usando a fórmula quadrática:
Para cada um desses
calculamos
(uso
ou
, dá o mesmo):
- Para
: - Para
:
Portanto os pontos de interseção são
Passo 5
Determinar qual curva fica acima da outra em cada região de
(análise de sinal):
Defina
Defina
Note que
. Pelas raízes que já achamos,
, a expressão
muda de sinal nessas abscissas. Fazendo uma tabela rápida (ou testando pontos):
- Para
entre e temos então . Logo : a parábola está acima da reta nesse intervalo. - Para
ou temos . Logo a reta está acima da parábola nessas abscissas.
Exemplo numérico para fixar: em
temos
e
, então a parábola está acima; em
temos
e
, a reta está acima.
Passo 6
Descrição final e instruções para desenhar o gráfico (passo a passo para fazer na prova):
- Desenhe a parábola
. É uma parábola voltada para baixo com vértice em . - Desenhe a reta
. Tem coeficiente angular e intercepto em . - Marque os pontos de interseção
(os valores exatos que calculamos). - A região do domínio é a região do plano que fica acima (ou em) ambas as curvas simultaneamente. Equivalentemente:
- Para
a fronteira superior mínima é a parábola, então . - Para
ou a fronteira mínima é a reta, então .
- Para
- Sombreie (ou pinte) a região acima da curva que estiver mais alta em cada
. Não esqueça: as desigualdades são do tipo , então a fronteira também pertence ao domínio (conjunto fechado).
Observações finais rápidas: o domínio é fechado e não é limitado para
acima (vai até
); é limitado para baixo pela “envelope” formado pela parábola e pela reta, com a mudança de bordo ocorrendo exatamente nos pontos de interseção.