Represente graficamente o domínio da função f(x, y)=\sqrt{y+x^{2}}+\sqrt{y+2 x+2}

Passo 1

O enunciado pede que eu represente graficamente o domínio da função
f(x,y)=\sqrt{y+x^{2}}+\sqrt{y+2x+2}.
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
  • A função tem duas raízes quadradas: \sqrt{y+x^{2}} e \sqrt{y+2x+2}.
  • Para que f(x,y) seja real, cada radicando deve ser maior ou igual a zero.
  • O que se pede é o conjunto de todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^{2} para os quais a soma está bem definida (ou seja, o domínio).

Passo 2

Condição para existência das raízes: explicar a ideia (mini-aula rápida)
\text{Se } \sqrt{A}\text{ é real, então é necessário e suficiente que }A\ge 0.éãéá
Aplicando isso aos dois radicandos do problema obtemos o sistema de desigualdades (isto é informação que veio do próprio enunciado aplicada à regra acima):
y+x^{2}\ge 0 \qquad\text{e}\qquad y+2x+2\ge 0.
Isolando y em cada uma:
y \ge -x^{2} \qquad\text{e}\qquad y \ge -2x-2.
Interpretação geométrica imediata: cada desigualdade descreve a região do plano que está por cima (ou em) da curva de igualdade respectiva. O domínio será a interseção dessas duas regiões.

Passo 3

Escrever o domínio em notação de conjunto e em forma compacta:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\ge -x^{2}\\ \text{e}\\ y\ge -2x-2\}.
Outra forma útil:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\ge \max(-x^{2},\,-2x-2)\}.
Explicação didática: isso significa que, para cada abscissa x, o valor mínimo permitido de y é o maior entre -x^{2} e -2x-2. No gráfico, traçamos as duas curvas e tomamos a região acima da curva mais alta em cada x.

Passo 4

Encontrar os pontos de interseção das duas fronteiras (onde as duas curvas se cruzam) — passo a passo:
igualando as duas expressões para y,
-x^{2} = -2x-2.
Rearranjando:
x^{2}-2x-2=0.
Usando a fórmula quadrática:
x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-2)}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}=1\pm\sqrt{3}.
Para cada um desses x calculamos y (uso y=-x^{2} ou y=-2x-2, dá o mesmo):
  • Para x=1+\sqrt{3}: y=-(1+\sqrt{3})^{2}=-(4+2\sqrt{3})=-4-2\sqrt{3}.
  • Para x=1-\sqrt{3}: y=-(1-\sqrt{3})^{2}=-(4-2\sqrt{3})=-4+2\sqrt{3}.
    Portanto os pontos de interseção são
\bigl(1+\sqrt{3},\,-4-2\sqrt{3}\bigr)\quad\text{e}\quad\bigl(1-\sqrt{3},\,-4+2\sqrt{3}\bigr).

Passo 5

Determinar qual curva fica acima da outra em cada região de x (análise de sinal):
Defina
d(x):=(-x^{2})-(-2x-2)=-x^{2}+2x+2.
Note que d(x)=-\bigl(x^{2}-2x-2\bigr). Pelas raízes que já achamos, x=1\pm\sqrt{3}, a expressão x^{2}-2x-2 muda de sinal nessas abscissas. Fazendo uma tabela rápida (ou testando pontos):
  • Para x entre 1-\sqrt{3} e 1+\sqrt{3} temos x^{2}-2x-2<0 então d(x)>0. Logo -x^{2}>-2x-2: a parábola está acima da reta nesse intervalo.
  • Para x<1-\sqrt{3} ou x>1+\sqrt{3} temos d(x)<0. Logo a reta y=-2x-2 está acima da parábola y=-x^{2} nessas abscissas.
Exemplo numérico para fixar: em x=0 temos -x^{2}=0 e -2x-2=-2, então a parábola está acima; em x=3 temos -x^{2}=-9 e -2x-2=-8, a reta está acima.

Passo 6

Descrição final e instruções para desenhar o gráfico (passo a passo para fazer na prova):
  1. Desenhe a parábola y=-x^{2}. É uma parábola voltada para baixo com vértice em (0,0).
  2. Desenhe a reta y=-2x-2. Tem coeficiente angular -2 e intercepto em y=-2.
  3. Marque os pontos de interseção \bigl(1\pm\sqrt{3},\,-4\mp2\sqrt{3}\bigr) (os valores exatos que calculamos).
  4. A região do domínio é a região do plano que fica acima (ou em) ambas as curvas simultaneamente. Equivalentemente:
    • Para x\in[\,1-\sqrt{3},\,1+\sqrt{3}\,] a fronteira superior mínima é a parábola, então y\ge -x^{2}.
    • Para x\le 1-\sqrt{3} ou x\ge 1+\sqrt{3} a fronteira mínima é a reta, então y\ge -2x-2.
  5. Sombreie (ou pinte) a região acima da curva que estiver mais alta em cada x. Não esqueça: as desigualdades são do tipo \ge, então a fronteira também pertence ao domínio (conjunto fechado).
Observações finais rápidas: o domínio é fechado e não é limitado para y acima (vai até +\infty); é limitado para baixo pela “envelope” formado pela parábola e pela reta, com a mudança de bordo ocorrendo exatamente nos pontos de interseção.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\ge -x^{2}\\ \text{e}\\ y\ge -2x-2\}
\text{Equivalente: }D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\ge \max(-x^{2},\,-2x-2)\}
\text{Ou, de forma peça a peça: para }x\in[\,1-\sqrt{3},\,1+\sqrt{3}\,]\text{ tem }y\ge -x^{2},\\ \text{caso contrário }y\ge -2x-2.ççá

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