Descreva o domínio de
em termos matemáticos.
Passo 1
O enunciado pede para “descrever o domínio de
em termos matemáticos”. A função dada é
As informações relevantes que o enunciado nos dá são: a expressão da função em termos das variáveis
e
e o fato de aparecer a operação
.
Passo 2
Primeiro precisamos entender o que é o domínio de uma função de duas variáveis. O domínio é o conjunto de pares
para os quais a expressão que define
está bem definida (no conjunto dos números reais, salvo indicação contrária). Ou seja, são todos os
que podemos colocar na fórmula sem obter operações impossíveis no conjunto dos reais.
Passo 3
Agora vamos analisar as operações que aparecem em
e ver se alguma impõe restrição sobre
ou
.
- A multiplicação por
não impõe restrição: qualquer pode multiplicar um número real. - A função exponencial
está definida para qualquer número real no expoente, então não impõe restrição sobre o valor do expoente em si. - A possível fonte de problema é a operação
: na matemática real, a raiz quadrada só está definida quando o argumento é maior ou igual a zero.
Passo 4
Portanto impomos a condição de que o argumento da raiz seja não negativo:
Agora resolvemos essa desigualdade em relação a
.
Passo 5
Subtraindo
dos dois lados da desigualdade obtemos
Essa é a única restrição que
precisa satisfazer para que
(e, consequentemente,
) esteja bem definida como número real.
Passo 6
Como
não tem restrição,
pode ser qualquer número real, enquanto
deve satisfazer
. Em linguagem de conjuntos, isso significa que o domínio é o produto de
com o intervalo
, ou escrito como conjunto de pares:
Passo 7
Escrevendo o domínio de forma matemática:
Passo 8
Para fixar a intuição, dois exemplos rápidos:
- O par
pertence ao domínio porque e , então . - O par
NÃO pertence ao domínio porque e não é um número real.