Descreva o domínio de f em termos matemáticos.
f(x, y)=x e^{-\sqrt{y+2}}

Passo 1

O enunciado pede para “descrever o domínio de f em termos matemáticos”. A função dada é
f(x,y)=x e^{-\sqrt{y+2}}.
As informações relevantes que o enunciado nos dá são: a expressão da função em termos das variáveis x e y e o fato de aparecer a operação \sqrt{y+2}.

Passo 2

Primeiro precisamos entender o que é o domínio de uma função de duas variáveis. O domínio é o conjunto de pares (x,y) para os quais a expressão que define f(x,y) está bem definida (no conjunto dos números reais, salvo indicação contrária). Ou seja, são todos os (x,y) que podemos colocar na fórmula sem obter operações impossíveis no conjunto dos reais.

Passo 3

Agora vamos analisar as operações que aparecem em f(x,y)=x e^{-\sqrt{y+2}} e ver se alguma impõe restrição sobre x ou y.
  • A multiplicação por x não impõe restrição: qualquer x\in\mathbb{R} pode multiplicar um número real.
  • A função exponencial e^{(\cdot)} está definida para qualquer número real no expoente, então não impõe restrição sobre o valor do expoente em si.
  • A possível fonte de problema é a operação \sqrt{y+2}: na matemática real, a raiz quadrada \sqrt{\cdot} só está definida quando o argumento é maior ou igual a zero.

Passo 4

Portanto impomos a condição de que o argumento da raiz seja não negativo:
y+2 \ge 0.
Agora resolvemos essa desigualdade em relação a y.

Passo 5

Subtraindo 2 dos dois lados da desigualdade obtemos
y \ge -2.
Essa é a única restrição que y precisa satisfazer para que \sqrt{y+2} (e, consequentemente, f(x,y)) esteja bem definida como número real.

Passo 6

Como x não tem restrição, x pode ser qualquer número real, enquanto y deve satisfazer y\ge -2. Em linguagem de conjuntos, isso significa que o domínio é o produto de \mathbb{R} com o intervalo [-2,\infty), ou escrito como conjunto de pares:

Passo 7

Escrevendo o domínio de forma matemática:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y \ge -2\} = \mathbb{R}\times[-2,\infty).

Passo 8

Para fixar a intuição, dois exemplos rápidos:
  • O par (0,-2) pertence ao domínio porque -2+2=0 e \sqrt{0}=0, então f(0,-2)=0.
  • O par (1,-3) NÃO pertence ao domínio porque -3+2=-1 e \sqrt{-1} não é um número real.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y \ge -2\}

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