Utilize o método dos anuladores para encontrar as soluções das equações abaixo.
Passo 1
Vamos dar uma olhada na equação que temos:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos usar o método dos anuladores, que nos ajuda a encontrar as soluções dessa equação encontrando operadores que anulam partes específicas da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação usando o operador diferencial $ D $, onde $ D = \frac{d}{dx} $. Assim, a equação fica:
Aqui, $ D^2 $ representa a segunda derivada de $ y $ em relação a $ x $ e $ D $ a primeira derivada.
Passo 3
O próximo passo do método dos anuladores é encontrar um operador que anule o termo não homogêneo da equação, que no caso é o 3. Como 3 é uma constante, usamos o operador:
Isso porque quando aplicamos $ D $ a uma constante, obtemos zero:
Passo 4
Agora, multiplicamos ambos os lados da equação original pelo anulador $ A = D $:
Simplificando, temos:
Passo 5
Vamos resolver a equação diferencial homogênea resultante:
Podemos fatorar $ D^2 $:
Isso nos dá as raízes da equação característica:
- $ D^2 = 0 $ → raízes duplas $ D = 0 $
- $ D + 1 = 0 $ → raiz $ D = -1 $
Passo 6
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a solução particular $ y_p $ para a equação original $ y’’ + y’ = 3 $. Como o lado direito é uma constante, tentamos uma solução particular também constante:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Isso não funciona, então tentamos uma solução particular linear:
Derivando novamente:
Substituindo na equação:
Portanto, $ A = 3 $.
Passo 8
Assim, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação $ y’’ + y’ = 3 $ é:
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes arbitrárias.