Utilize o método dos anuladores para encontrar as soluções das equações abaixo.
y^prime prime+y^prime=3

Passo 1

Vamos dar uma olhada na equação que temos:
y'' + y' = 3
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos usar o método dos anuladores, que nos ajuda a encontrar as soluções dessa equação encontrando operadores que anulam partes específicas da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação usando o operador diferencial $ D $, onde $ D = \frac{d}{dx} $. Assim, a equação fica:
D
Aqui, $ D^2 $ representa a segunda derivada de $ y $ em relação a $ x $ e $ D $ a primeira derivada.

Passo 3

O próximo passo do método dos anuladores é encontrar um operador que anule o termo não homogêneo da equação, que no caso é o 3. Como 3 é uma constante, usamos o operador:
A = D
Isso porque quando aplicamos $ D $ a uma constante, obtemos zero:
D

Passo 4

Agora, multiplicamos ambos os lados da equação original pelo anulador $ A = D $:
A = D
Simplificando, temos:
D(D^2 + D)y = D cdot 3

Passo 5

Vamos resolver a equação diferencial homogênea resultante:
D^3 y + D^2 y = 0
Podemos fatorar $ D^2 $:
D^2
Isso nos dá as raízes da equação característica:
  • $ D^2 = 0 $ → raízes duplas $ D = 0 $
  • $ D + 1 = 0 $ → raiz $ D = -1 $

Passo 6

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 + C2 x + C3 e^-x
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a solução particular $ y_p $ para a equação original $ y’’ + y’ = 3 $. Como o lado direito é uma constante, tentamos uma solução particular também constante:
yp
Derivando:
y'' + y' = 3
yp = A
Substituindo na equação original:
yp' = 0
Isso não funciona, então tentamos uma solução particular linear:
yp'' = 0
Derivando novamente:
0 + 0 = 3
yp = A x
Substituindo na equação:
yp' = A
Portanto, $ A = 3 $.

Passo 8

Assim, a solução particular é:
yp = 3x

Resposta

A solução geral da equação $ y’’ + y’ = 3 $ é:
y'' + y' = 3
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes arbitrárias.

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