Esboce o domínio e inverta a ordem de integração.
integral0^pi / 4 integral0^tan (x) f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede pra esboçar o domínio do iterado integral0^pi/4 integral0^tan(x) f(x,y),dy,dx e depois trocar a ordem de integração. O conteúdo aqui é região de integração em coordenadas cartesianas e inversão de ordem.

Passo 2

O domínio D é dado por todos os pontos (x,y) tais que
0 <= x <= tfracpi4, 0 <= y <= tan(x)

Passo 3

Desenhando no plano (x,y), temos: a reta vertical x=0, a reta vertical x=pi/4, o eixo y=0 e a curva y=tan(x). A região fica abaixo de y=tan(x), entre x=0 e x=pi/4.

Passo 4

Para inverter a integração, primeiro identificamos a variação de y. Como y vai de 0 até tan(pi/4)=1, temos
0 <= y <= 1

Passo 5

Agora, para cada y fixo em [0,1], o x varia da curva inversa de y=tan(x), isto é x=arctan(y), até o valor máximo x=pi/4. Assim:
arctan(y) <= x <= tfracpi4

Passo 6

Portanto, a integral com ordem invertida fica:
integraly=0^1 integralx=arctan(y)^pi/4 f(x,y),dx,dy

Resposta

integral0^1 integralarctan(y)^tfracpi4 f(x,y),dx,dy

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