Esboce, encontre a equação cartesiana e classifique as seguintes curvas:
(Dica: use a identidade
)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Dado:
. - Pedidos:
- Esboçar a curva (fazer um desenho da forma geral).
- Encontrar a equação cartesiana (em
). - Classificar a curva (que tipo de curva é, quantas pétalas, simetrias, etc.).
- Dica fornecida: usar a identidade
.
Vou seguir essa pista: transformar a expressão polar usando a identidade e as relações, para passar para coordenadas cartesianas; em seguida identifico o tipo de curva e explico como esboçá-la passo a passo.
Passo 2
Mini-aula rápida (ferramentas que vou usar) — polar para cartesiano:
- Em coordenadas polares, cada ponto é dado por
. - As relações entre polares e cartesianas são:
- Quando aparecer
ou numa expressão com , substitui por e . - Dica prática: se tiver uma igualdade envolvendo
e frações com , multiplique para eliminar denominadores e, se necessário, eleve ao quadrado para obter uma equação polinomial em .
Passo 3
Usando a identidade indicada e substituindo as funções trigonométricas por
:
- Primeiro aplicar a identidade
. Assim - Agora substituir
e : - Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominadores: - Lembrando que
, tem-se . Se elevar ao quadrado a igualdade (para eliminar a raiz cúbica implícita), obtenho: - Substituindo
, a equação cartesiana final é
Passo 4
Interpretação da equação e classificação (mini-aula sobre curvas do tipo
):
- Curvas da forma
ou são chamadas de curvas tipo “rhodonea” ou “rose” (rosa). - Regra prática para o número de pétalas:
- Se
é ímpar, o número de pétalas é . - Se
é par, o número de pétalas é .
- Se
- Aqui temos
e (pois ). Como é par, o número de pétalas é . - Portanto a curva é uma “rosa” de 4 pétalas (também chamada de quadrifólio ou quadrifólia), com comprimento máximo de pétala
.
Passo 5
Posição das pétalas e simetrias (como localizar as pétalas para esboço):
- As pétalas aparecem onde
atinge 1 (valores extremos). Para : Isso dá e (duas pétalas opostas). - Para
: que, devido ao sinal negativo de , corresponde fisicamente às pétalas nas direções e . - Conclusão: as quatro pétalas estão centradas nas direções (ângulos)
— ou seja, ao longo das diagonais e . - A cada uma dessas direções a ponta da pétala fica a distância
do origem.
Passo 6
Como esboçar, passo a passo (faça à mão na prova — sem calculadora):
- Desenhe os eixos cartesianas e trace as linhas diagonais a
. - Marque no eixo dessas diagonais os pontos a distância
do origem (esses serão as pontas das pétalas). - Observe que a curva passa pela origem quando
, isto é, em — logo a curva atravessa a origem quatro vezes entre as pétalas. - Para um esboço mais detalhado no primeiro quadrante (
) faça uma pequena tabela: Use esses pontos para desenhar uma pétala suave que parte da origem, cresce até em e volta ao zero em . - Repita o raciocínio nas demais quatro faixas de
(cada pétala ocupa um intervalo de amplitude ) e obtenha as quatro pétalas simétricas.]
Passo 7
Resumo de propriedades úteis (para fixar na prova):
- Equação polar:
. - Equação cartesiana:
. - Tipo: curva rhodonea (rosa) de 4 pétalas (quadrifólio).
- Ponta das pétalas: a distância máxima do origem é
, nas direções . - Zeros (passa pela origem) em
.
Boa! Se estiver nervoso na prova, lembra: desenha as diagonais, marca os pontos ae liga suavemente — isso já garante um esboço correto.
Resposta
Esboço: rosa de 4 pétalas centradas nas direções
, cada pétala com ponta a
.
Equação cartesiana: .
Classificação: curva rhodonea (rosa), quadrifólio (4 pétalas), simétrica em relação às diagonais .
Equação cartesiana:
Classificação: curva rhodonea (rosa), quadrifólio (4 pétalas), simétrica em relação às diagonais