Esboce, encontre a equação cartesiana e classifique as seguintes curvas:
r=4 \sin (2 \theta) (Dica: use a identidade \sin (2 \theta)=2 \sin (\theta) \cos (\theta) )

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Dado: r=4\sin(2\theta).
  • Pedidos:
    1. Esboçar a curva (fazer um desenho da forma geral).
    2. Encontrar a equação cartesiana (em x,y).
    3. Classificar a curva (que tipo de curva é, quantas pétalas, simetrias, etc.).
  • Dica fornecida: usar a identidade \sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta).
    Vou seguir essa pista: transformar a expressão polar usando a identidade e as relações \,x=r\cos\theta\,,\;y=r\sin\theta, para passar para coordenadas cartesianas; em seguida identifico o tipo de curva e explico como esboçá-la passo a passo.

Passo 2

Mini-aula rápida (ferramentas que vou usar) — polar para cartesiano:
  • Em coordenadas polares, cada ponto é dado por (r,\theta).
  • As relações entre polares e cartesianas são: x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad r^2 = x^2+y^2.
  • Quando aparecer \sin\theta ou \cos\theta numa expressão com r, substitui por \sin\theta = \dfrac{y}{r} e \cos\theta = \dfrac{x}{r}.
  • Dica prática: se tiver uma igualdade envolvendo r e frações com r, multiplique para eliminar denominadores e, se necessário, eleve ao quadrado para obter uma equação polinomial em x,y.

Passo 3

Usando a identidade indicada e substituindo as funções trigonométricas por x,y:
  • Primeiro aplicar a identidade \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta. Assim r = 4\sin(2\theta) = 4\cdot 2\sin\theta\cos\theta = 8\sin\theta\cos\theta.
  • Agora substituir \sin\theta = \dfrac{y}{r} e \cos\theta = \dfrac{x}{r}: r = 8\cdot\frac{y}{r}\cdot\frac{x}{r} = 8\frac{xy}{r^2}.
  • Multiplicando ambos os lados por r^2 para eliminar denominadores: r^3 = 8xy.
  • Lembrando que r^2 = x^2+y^2, tem-se r^6 = (r^2)^3 = (x^2+y^2)^3. Se elevar ao quadrado a igualdade r^3 = 8xy (para eliminar a raiz cúbica implícita), obtenho: (r^3)^2 = (8xy)^2 \quad\Rightarrow\quad r^6 = 64x^2y^2.
  • Substituindo r^6=(x^2+y^2)^3, a equação cartesiana final é \boxed{(x^2+y^2)^3 = 64\,x^2y^2.}

Passo 4

Interpretação da equação e classificação (mini-aula sobre curvas do tipo r=a\sin(n\theta)):
  • Curvas da forma r=a\sin(n\theta) ou r=a\cos(n\theta) são chamadas de curvas tipo “rhodonea” ou “rose” (rosa).
  • Regra prática para o número de pétalas:
    • Se n é ímpar, o número de pétalas é n.
    • Se n é par, o número de pétalas é 2n.
  • Aqui temos a=4 e n=2 (pois r=4\sin(2\theta)). Como n=2 é par, o número de pétalas é 2\cdot 2 = 4.
  • Portanto a curva é uma “rosa” de 4 pétalas (também chamada de quadrifólio ou quadrifólia), com comprimento máximo de pétala r_{\max}=4.

Passo 5

Posição das pétalas e simetrias (como localizar as pétalas para esboço):
  • As pétalas aparecem onde |\sin(2\theta)| atinge 1 (valores extremos). Para \sin(2\theta)=1: 2\theta = \tfrac{\pi}{2} + 2k\pi \quad\Rightarrow\quad \theta = \tfrac{\pi}{4} + k\pi.Isso dá \theta=\tfrac{\pi}{4} e \theta=\tfrac{5\pi}{4} (duas pétalas opostas).
  • Para \sin(2\theta)=-1: 2\theta = \tfrac{3\pi}{2} + 2k\pi \quad\Rightarrow\quad \theta = \tfrac{3\pi}{4} + k\pi,que, devido ao sinal negativo de r, corresponde fisicamente às pétalas nas direções \theta=\tfrac{3\pi}{4} e \theta=\tfrac{7\pi}{4}.
  • Conclusão: as quatro pétalas estão centradas nas direções (ângulos) \theta=\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4} — ou seja, ao longo das diagonais \pm 45^\circ e \pm 135^\circ.
  • A cada uma dessas direções a ponta da pétala fica a distância r=4 do origem.

Passo 6

Como esboçar, passo a passo (faça à mão na prova — sem calculadora):
  1. Desenhe os eixos cartesianas e trace as linhas diagonais a \pm 45^\circ.
  2. Marque no eixo dessas diagonais os pontos a distância 4 do origem (esses serão as pontas das pétalas).
  3. Observe que a curva passa pela origem quando \sin(2\theta)=0, isto é, em \theta=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2} — logo a curva atravessa a origem quatro vezes entre as pétalas.
  4. Para um esboço mais detalhado no primeiro quadrante ( 0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}) faça uma pequena tabela: \begin{array}{c|c} \theta & r=4\sin(2\theta)\\hline 0 & 0\\[4pt] \tfrac{\pi}{8} & 4\sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=4\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\\[4pt] \tfrac{\pi}{4} & 4\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=4\\[4pt] \tfrac{3\pi}{8} & 2\sqrt{2}\\[4pt] \tfrac{\pi}{2} & 0 \end{array}Use esses pontos para desenhar uma pétala suave que parte da origem, cresce até r=4 em \theta=\tfrac{\pi}{4} e volta ao zero em \theta=\tfrac{\pi}{2}.
  5. Repita o raciocínio nas demais quatro faixas de \theta (cada pétala ocupa um intervalo de amplitude \tfrac{\pi}{2}) e obtenha as quatro pétalas simétricas.]

Passo 7

Resumo de propriedades úteis (para fixar na prova):
  • Equação polar: r=4\sin(2\theta).
  • Equação cartesiana: (x^2+y^2)^3 = 64\,x^2y^2.
  • Tipo: curva rhodonea (rosa) de 4 pétalas (quadrifólio).
  • Ponta das pétalas: a distância máxima do origem é 4, nas direções \theta=\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}.
  • Zeros (passa pela origem) em \theta=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2}.
    Boa! Se estiver nervoso na prova, lembra: desenha as diagonais, marca os pontos a r=4 e liga suavemente — isso já garante um esboço correto.

Resposta

Esboço: rosa de 4 pétalas centradas nas direções \theta=\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}, cada pétala com ponta a r=4.
Equação cartesiana: (x^2+y^2)^3 = 64\,x^2y^2.
Classificação: curva rhodonea (rosa), quadrifólio (4 pétalas), simétrica em relação às diagonais \pm 45^\circ.

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