Esboce
e encontre uma parametrização para
, nos casos:
e
Passo 1
O enunciado dá a curva
definida por
com a restrição
. Pede duas coisas:
- Esboçar
(ou seja, descrever sua forma e elementos principais que servem para desenhar). - Encontrar uma parametrização de
que cubra exatamente a parte com .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação tem a forma
com , e . - Logo
e . - A condição extra é
, ou seja, só queremos a “ramificação inferior” da hipérbole.
Passo 2
Identificar a classe da curva e seus elementos fundamentais (sem resolver ainda a parametrização): a equação é uma hipérbole com eixo transverso vertical deslocada para a direita em
. Explico por partes:
- A forma padrão
descreve uma hipérbole centrada em que se abre no sentido vertical (para cima e para baixo). - Aqui
, então o centro é . - O “vértice superior” está em
e o “vértice inferior” em . Como queremos , ficamos com a ramificação que passa por .
Passo 3
Como esboçar a hipérbole (passo a passo prático):
- Marcar o centro em
. - Marcar os vértices em
e . Para usamos o vértice inferior . - As assíntotas da hipérbole (retas que a curva se aproxima quando
) vêm da relação linear aproximada obtida anulando o termo constante da equação; para a forma vertical elas são
Substituindo
,
,
obtemos as assíntotas
- Desenhe a ramificação inferior passando por
e aproximando-se das retas (a parte inferior só segue a assíntota com sinal negativo quando cresce para e com sinal positivo quando vai para — visualmente a curva tende a essas duas retas de cada lado).
Observação útil: da equação segue que, logo ; a ramificação inferior tem portanto .
Passo 4
Escolher um método de parametrização e explicar a ideia: usar funções hiperbólicas é natural aqui porque elas satisfazem a identidade
, que se ajusta diretamente à forma
.
Vou explicar o que são
e
(de modo simples):
- Para todo
definem-se
- Propriedade-chave:
para todo . Além disso para todo , e percorre todos os reais quando varia em .
Passo 5
Construir a parametrização usando as hiperbólicas e verificar passo a passo:
- Proponho as funções
- Verificação direta (colocar dentro da equação da hipérbole):
Logo a parametrização satisfaz exatamente a equação da curva.
Passo 6
Checar que a parametrização cobre exatamente a parte com
:
- Como
, tem-se , portanto sempre (na verdade ), ou seja, a parametrização fica totalmente na ramificação inferior desejada. - Quando
percorre todo , toma todos os valores reais, portanto percorre toda a projeção em da ramificação; assim todos os pontos da ramificação inferior são obtidos por algum . - No caso
obtemos o vértice inferior: , .
Passo 7
Resumo final das duas respostas pedidas (esboço e parametrização), prontas para consulta rápida na prova.
Resposta
Esboço: hipérbole centrada em
com vértices em
; a ramificação solicitada é a inferior que passa por
e tende às assíntotas
, com
.
Parametrização: