Esboce C e encontre uma parametrização para C, nos casos:
C=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: \frac{y^{2}}{9}-\frac{(x-1)^{2}}{4}=1\right. e \left.y<0\right\}

Passo 1

O enunciado dá a curva C definida por
\frac{y^{2}}{9}-\frac{(x-1)^{2}}{4}=1
com a restrição y<0. Pede duas coisas:
  • Esboçar C (ou seja, descrever sua forma e elementos principais que servem para desenhar).
  • Encontrar uma parametrização de C que cubra exatamente a parte com y<0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação tem a forma \dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1 com h=1, a^{2}=9 e b^{2}=4.
  • Logo a=3 e b=2.
  • A condição extra é y<0, ou seja, só queremos a “ramificação inferior” da hipérbole.

Passo 2

Identificar a classe da curva e seus elementos fundamentais (sem resolver ainda a parametrização): a equação é uma hipérbole com eixo transverso vertical deslocada para a direita em 1. Explico por partes:
  • A forma padrão \dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1 descreve uma hipérbole centrada em (h,0) que se abre no sentido vertical (para cima e para baixo).
  • Aqui h=1, então o centro é (1,0).
  • O “vértice superior” está em (1,a)=(1,3) e o “vértice inferior” em (1,-3). Como queremos y<0, ficamos com a ramificação que passa por (1,-3).

Passo 3

Como esboçar a hipérbole (passo a passo prático):
  1. Marcar o centro em (1,0).
  2. Marcar os vértices em (1,3) e (1,-3). Para C usamos o vértice inferior (1,-3).
  3. As assíntotas da hipérbole (retas que a curva se aproxima quando |x|\to\infty) vêm da relação linear aproximada obtida anulando o termo constante da equação; para a forma vertical elas são
y=\pm\frac{a}{b}(x-h).
Substituindo a=3, b=2, h=1 obtemos as assíntotas
y=\pm\frac{3}{2}(x-1).
  1. Desenhe a ramificação inferior passando por (1,-3) e aproximando-se das retas y=\pm\frac{3}{2}(x-1) (a parte inferior só segue a assíntota com sinal negativo quando x cresce para +\infty e com sinal positivo quando x vai para -\infty — visualmente a curva tende a essas duas retas de cada lado).
    Observação útil: da equação segue que y^{2}\ge 9, logo |y|\ge 3; a ramificação inferior tem portanto y\le -3.

Passo 4

Escolher um método de parametrização e explicar a ideia: usar funções hiperbólicas é natural aqui porque elas satisfazem a identidade \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1, que se ajusta diretamente à forma \dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1.
Vou explicar o que são \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh} (de modo simples):
  • Para todo t\in\mathbb{R} definem-se
\operatorname{sinh} t=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2},\qquad \operatorname{cosh} t=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}.
  • Propriedade-chave: \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1 para todo t. Além disso \operatorname{cosh} t\ge 1 para todo t, e \operatorname{sinh} t percorre todos os reais quando t varia em \mathbb{R}.

Passo 5

Construir a parametrização usando as hiperbólicas e verificar passo a passo:
  • Proponho as funções
y(t)=-a\operatorname{cosh} t=-3\operatorname{cosh} t, \qquad x(t)=h+b\operatorname{sinh} t=1+2\operatorname{sinh} t, \qquad t\in\mathbb{R}.
  • Verificação direta (colocar dentro da equação da hipérbole):
\frac{y(t)^{2}}{9}-\frac{(x(t)-1)^{2}}{4} =\frac{(-3\operatorname{cosh} t)^{2}}{9}-\frac{(2\operatorname{sinh} t)^{2}}{4} =\frac{9\operatorname{cosh}^{2}t}{9}-\frac{4\operatorname{sinh}^{2}t}{4} =\operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1.
Logo a parametrização satisfaz exatamente a equação da curva.

Passo 6

Checar que a parametrização cobre exatamente a parte com y<0:
  • Como \operatorname{cosh} t\ge 1, tem-se y(t)=-3\operatorname{cosh} t\le -3, portanto sempre y<0 (na verdade y\le-3), ou seja, a parametrização fica totalmente na ramificação inferior desejada.
  • Quando t percorre todo \mathbb{R}, \operatorname{sinh} t toma todos os valores reais, portanto x(t)=1+2\operatorname{sinh} t percorre toda a projeção em x da ramificação; assim todos os pontos da ramificação inferior são obtidos por algum t\in\mathbb{R}.
  • No caso t=0 obtemos o vértice inferior: x(0)=1, y(0)=-3.

Passo 7

Resumo final das duas respostas pedidas (esboço e parametrização), prontas para consulta rápida na prova.

Resposta

Esboço: hipérbole centrada em (1,0) com vértices em (1,\pm3); a ramificação solicitada é a inferior que passa por (1,-3) e tende às assíntotas y=\pm\dfrac{3}{2}(x-1), com y\le -3.
Parametrização: \displaystyle \mathbf{r}(t)=\bigl(1+2\operatorname{sinh} t,\;-3\operatorname{cosh} t\bigr),\\ t\in\mathbb{R}.

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