Esboce o subconjunto do
no plano cartesiano:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o subconjunto do plano cartesiano dado por
Informações fornecidas:
- A única condição é
. - Não há restrição sobre
(ou seja, pode ser qualquer número real).
O que se pede: fazer um desenho (esboço) do conjuntono plano .
Passo 2
Entendendo a condição
de forma intuitiva.
A desigualdade depende só da coordenada horizontal
. Isso significa que:
A desigualdade
- Para cada valor fixo de
maior que , qualquer valor de é permitido.
Em linguagem de produto cartesiano isso se escreve como
ou seja, o conjunto de todos os pares
com
pertencendo ao intervalo aberto
e
a toda reta
.
Passo 3
Preparando o esboço (passos práticos para desenhar no papel):
- Desenhe dois eixos perpendiculares: eixo horizontal
e eixo vertical . - Marque no eixo
o ponto . Pode marcar também para referência.
Passo 4
Desenhar a fronteira e indicar exclusão:
- A reta vertical correspondente a
é a fronteira entre os pontos com e os com . - Como a desigualdade é estrita (
), os pontos com não pertencem a . Por isso desenhe a reta como uma linha tracejada (ou pontilhada) para indicar que ela NÃO faz parte do conjunto.
Passo 5
Marcar a região que pertence a
:
- Sombras ou pinte a região à direita da reta
(isto é, todos os pontos com coordenada maior que ). - A sombra deve se estender indefinidamente para a direita e para cima/baixo, pois não há limites em
nem em superiormente.
Passo 6
Exemplos rápidos para checar compreensão:
- O ponto
pertence a porque . - O ponto
NÃO pertence a porque . - O ponto
NÃO pertence; o ponto NÃO pertence. - O ponto
(ou seja, ) pertence a porque .
Passo 7
Algumas propriedades úteis para lembrar (úteis em provas):
-
é um semiplano aberto (aberto no sentido topológico): para qualquer ponto existe um disco pequeno em torno dele contido em . Uma forma prática de ver isso: se , então é uma distância positiva da reta ; o disco de raio em torno de fica inteiramente à direita de . - A fronteira de
é a reta . - O fecho (fechamento) de
é . -
é conexo (não se separa em duas partes) e é ilimitado (estende-se ao infinito para a direita).
Passo 8
Como desenhar rápido numa prova (truque):
- Trace os eixos, marque
. - Desenhe a reta vertical
pontilhada. - Faça um sombreamento claro à direita dessa reta, cobrindo todo o plano nessa direção.
- Ao lado do sombreamento escreva a condição
para deixar claro o que foi desenhado.
Resposta
Semiplano aberto à direita da reta
: desenhar a reta vertical
tracejada e sombrear toda a região
à sua direita.