Esboce o subconjunto do \mathbb{R}^{2} no plano cartesiano:
V=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x>1\right\}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o subconjunto do plano cartesiano dado por
V=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x>1\right\}.
Informações fornecidas:
  • A única condição é x>1.
  • Não há restrição sobre y (ou seja, y pode ser qualquer número real).
    O que se pede: fazer um desenho (esboço) do conjunto V no plano (x,y).

Passo 2

Entendendo a condição x>1 de forma intuitiva.
A desigualdade x>1 depende só da coordenada horizontal x. Isso significa que:
  • Para cada valor fixo de x maior que 1, qualquer valor de y é permitido.
    Em linguagem de produto cartesiano isso se escreve como
V=(1,\infty)\times\mathbb{R},
ou seja, o conjunto de todos os pares (x,y) com x pertencendo ao intervalo aberto (1,\infty) e y a toda reta \mathbb{R}.

Passo 3

Preparando o esboço (passos práticos para desenhar no papel):
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares: eixo horizontal x e eixo vertical y.
  2. Marque no eixo x o ponto x=1. Pode marcar também x=0 para referência.

Passo 4

Desenhar a fronteira e indicar exclusão:
  • A reta vertical correspondente a x=1 é a fronteira entre os pontos com x>1 e os com x<1.
  • Como a desigualdade é estrita ( >), os pontos com x=1 não pertencem a V. Por isso desenhe a reta x=1 como uma linha tracejada (ou pontilhada) para indicar que ela NÃO faz parte do conjunto.

Passo 5

Marcar a região que pertence a V:
  • Sombras ou pinte a região à direita da reta x=1 (isto é, todos os pontos com coordenada x maior que 1).
  • A sombra deve se estender indefinidamente para a direita e para cima/baixo, pois não há limites em y nem em x superiormente.

Passo 6

Exemplos rápidos para checar compreensão:
  • O ponto (2,0) pertence a V porque 2>1.
  • O ponto (1,0) NÃO pertence a V porque 1\not>1.
  • O ponto (1,5) NÃO pertence; o ponto (1, -3) NÃO pertence.
  • O ponto (1{,}5,-3) (ou seja, (1{,}5,-3)) pertence a V porque 1{,}5>1.

Passo 7

Algumas propriedades úteis para lembrar (úteis em provas):
  • V é um semiplano aberto (aberto no sentido topológico): para qualquer ponto (x_{0},y_{0})\in V existe um disco pequeno em torno dele contido em V. Uma forma prática de ver isso: se x_{0}>1, então r=x_{0}-1>0 é uma distância positiva da reta x=1; o disco de raio r em torno de (x_{0},y_{0}) fica inteiramente à direita de x=1.
  • A fronteira de V é a reta \{(x,y)\mid x=1\}.
  • O fecho (fechamento) de V é [1,\infty)\times\mathbb{R}.
  • V é conexo (não se separa em duas partes) e é ilimitado (estende-se ao infinito para a direita).

Passo 8

Como desenhar rápido numa prova (truque):
  • Trace os eixos, marque x=1.
  • Desenhe a reta vertical x=1 pontilhada.
  • Faça um sombreamento claro à direita dessa reta, cobrindo todo o plano nessa direção.
  • Ao lado do sombreamento escreva a condição \,x>1\, para deixar claro o que foi desenhado.

Resposta

Semiplano aberto à direita da reta \,x=1: desenhar a reta vertical \,x=1 tracejada e sombrear toda a região \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x>1\} à sua direita.

Exercícios relacionados