Esboce o subconjunto do \mathbb{R}^{2} no plano cartesiano: A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \left\lvert\, \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\right.\right\}
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o subconjunto A\subset\mathbb{R}^2 definido por
Informações dadas (tiradas diretamente do enunciado):
A equação é \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}=1.
Trata-se de uma igualdade (isto é, o conjunto é a curva formada pelos pontos que satisfazem a equação), não um interior (não é \le nem \ge).
O que se pede:
Fazer o esboço (desenho) dessa curva no plano cartesiano.
Passo 2
Identificar pontos óbvios: interceptos com os eixos.
Interpretar a forma da equação e determinar semi-eixos e centro.
A equação está na forma padrão de uma elipse centrada na origem:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Aqui a^{2}=9 e b^{2}=4. Portanto
a=\sqrt{9}=3,\qquad b=\sqrt{4}=2.
Como a>b, o semi-eixo maior está ao longo do eixo x. Assim:
semi-eixo maior (horizontal) tem comprimento a=3 (vértices (\pm 3,0));
semi-eixo menor (vertical) tem comprimento b=2 (co-vértices (0,\pm 2)).
Isso já dá a forma básica: uma elipse centrada na origem, alargada na direção horizontal.
Passo 4
Calcular os focos (útil para desenhar e entender a elipse).
Para uma elipse com semi-eixos a (maior) e b (menor) e eixo maior horizontal, os focos ficam em (\pm c,0) com
Portanto os focos são \big(\pm\sqrt{5},0\big)\approx(\pm 2{,}236,0).
Dica intuitiva: os focos ficam dentro da elipse ao longo do eixo maior, servem para entender sua “ovalidade”.
Passo 5
Parâmetros e pontos auxiliares para desenhar com precisão.
Use simetria em relação aos eixos x e y para obter os pontos com x<0 e valores negativos de y.
Passo 7
Passo a passo prático para esboçar no papel (modo prova, rápido e seguro).
Desenhe os eixos x e y com uma escala razoável (por exemplo 1 unidade = 1 cm).
Marque o centro (0,0).
Marque os vértices horizontais (\pm 3,0) e verticais (0,\pm 2).
(Opcional) Marque os focos em \big(\pm\sqrt{5},0\big)\approx(\pm 2{,}236,0).
Plote alguns pontos intermediários como os de \;t=\tfrac{\pi}{4} e os da tabela do passo anterior.
Ligue os pontos com uma curva suave e oval, respeitando a simetria nos quatro quadrantes.
Escureça a curva final. A elipse deve passar exatamente pelos vértices e ser simétrica em relação aos eixos.
Passo 8
Observações finais e dicas de prova (motivação e truques rápidos).
Não esqueça: a equação com soma de quadrados igual a 1 sempre indica uma elipse (se denominadores positivos). A forma \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 dá imediatamente a e b.
Em prova, marcar vértices e co-vértices e, se possível, um ou dois pontos intermediários já basta para um esboço correto.
Respira fundo: é só plotar pontos simétricos e unir com uma curva suave — você consegue!
Resposta
A curva é uma elipse centrada na origem com semi-eixos a=3 (horizontal) e b=2 (vertical). Interceptos: (\pm 3,0) e (0,\pm 2). Focos: \big(\pm\sqrt{5},0\big)\approx(\pm 2{,}236,0).