Esboce o subconjunto do \mathbb{R}^{2} no plano cartesiano:
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \left\lvert\, \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\right.\right\}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o subconjunto A\subset\mathbb{R}^2 definido por
A=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \left\lvert\, \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\right.\right\}.
Informações dadas (tiradas diretamente do enunciado):
  • A equação é \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}=1.
  • Trata-se de uma igualdade (isto é, o conjunto é a curva formada pelos pontos que satisfazem a equação), não um interior (não é \le nem \ge).
    O que se pede:
  • Fazer o esboço (desenho) dessa curva no plano cartesiano.

Passo 2

Identificar pontos óbvios: interceptos com os eixos.
  • Para os interceptos no eixo x faça y=0. Então
\frac{x^{2}}{9}=1 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=9 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 3.
Logo os pontos (3,0) e (-3,0) pertencem a A.
  • Para os interceptos no eixo y faça x=0. Então
\frac{y^{2}}{4}=1 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad y=\pm 2.
Logo os pontos (0,2) e (0,-2) pertencem a A.

Passo 3

Interpretar a forma da equação e determinar semi-eixos e centro.
  • A equação está na forma padrão de uma elipse centrada na origem:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Aqui a^{2}=9 e b^{2}=4. Portanto
a=\sqrt{9}=3,\qquad b=\sqrt{4}=2.
  • Como a>b, o semi-eixo maior está ao longo do eixo x. Assim:
    • semi-eixo maior (horizontal) tem comprimento a=3 (vértices (\pm 3,0));
    • semi-eixo menor (vertical) tem comprimento b=2 (co-vértices (0,\pm 2)).
      Isso já dá a forma básica: uma elipse centrada na origem, alargada na direção horizontal.

Passo 4

Calcular os focos (útil para desenhar e entender a elipse).
  • Para uma elipse com semi-eixos a (maior) e b (menor) e eixo maior horizontal, os focos ficam em (\pm c,0) com
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
  • Substituindo a^{2}=9 e b^{2}=4:
c^{2}=9-4=5 \quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{5}\approx 2{,}236.
  • Portanto os focos são \big(\pm\sqrt{5},0\big)\approx(\pm 2{,}236,0).
    Dica intuitiva: os focos ficam dentro da elipse ao longo do eixo maior, servem para entender sua “ovalidade”.

Passo 5

Parâmetros e pontos auxiliares para desenhar com precisão.
  • Parametrização útil para traçar a curva:
x=3\cos t,\qquad y=2\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
  • Pontos-chave obtidos por t conhecidos:
    • t=0: (3,0).
    • t=\tfrac{\pi}{2}: (0,2).
    • t=\pi: (-3,0).
    • t=\tfrac{3\pi}{2}: (0,-2).
    • t=\tfrac{\pi}{4}: \big(3\cos\tfrac{\pi}{4},\,2\sin\tfrac{\pi}{4}\big)=\big(\tfrac{3}{\sqrt{2}},\,\tfrac{2}{\sqrt{2}}\big)\approx(2{,}121,\,1{,}414).
    • t=\tfrac{3\pi}{4}: \approx(-2{,}121,\,1{,}414).
      Esses pontos intermediários ajudam a desenhar a curvatura corretamente.

Passo 6

Outra forma prática para desenhar: expressar y em função de x.
  • A partir de \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}=1 isolamos y:
\frac{y^{2}}{4}=1-\frac{x^{2}}{9}\quad\Rightarrow\quad y=\pm 2\sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}}.
  • Fazendo uma pequena tabela de x e y (apenas para x\ge 0 por simetria) sem calculadora pesada:
    • x=0\Rightarrow y=\pm 2.
    • x=1\Rightarrow y=\pm 2\sqrt{1-\tfrac{1}{9}}=\pm 2\sqrt{\tfrac{8}{9}}=\pm \tfrac{4\sqrt{2}}{3}\approx\pm 1{,}886.
    • x=2\Rightarrow y=\pm 2\sqrt{1-\tfrac{4}{9}}=\pm 2\sqrt{\tfrac{5}{9}}=\pm \tfrac{2\sqrt{5}}{3}\approx\pm 1{,}491.
    • x=3\Rightarrow y=0.
  • Use simetria em relação aos eixos x e y para obter os pontos com x<0 e valores negativos de y.

Passo 7

Passo a passo prático para esboçar no papel (modo prova, rápido e seguro).
  1. Desenhe os eixos x e y com uma escala razoável (por exemplo 1 unidade = 1 cm).
  2. Marque o centro (0,0).
  3. Marque os vértices horizontais (\pm 3,0) e verticais (0,\pm 2).
  4. (Opcional) Marque os focos em \big(\pm\sqrt{5},0\big)\approx(\pm 2{,}236,0).
  5. Plote alguns pontos intermediários como os de \;t=\tfrac{\pi}{4} e os da tabela do passo anterior.
  6. Ligue os pontos com uma curva suave e oval, respeitando a simetria nos quatro quadrantes.
  7. Escureça a curva final. A elipse deve passar exatamente pelos vértices e ser simétrica em relação aos eixos.

Passo 8

Observações finais e dicas de prova (motivação e truques rápidos).
  • Não esqueça: a equação com soma de quadrados igual a 1 sempre indica uma elipse (se denominadores positivos). A forma \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 dá imediatamente a e b.
  • Em prova, marcar vértices e co-vértices e, se possível, um ou dois pontos intermediários já basta para um esboço correto.
  • Respira fundo: é só plotar pontos simétricos e unir com uma curva suave — você consegue!

Resposta

A curva é uma elipse centrada na origem com semi-eixos a=3 (horizontal) e b=2 (vertical). Interceptos: (\pm 3,0) e (0,\pm 2). Focos: \big(\pm\sqrt{5},0\big)\approx(\pm 2{,}236,0).

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