Esboce e encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas abaixo em torno do eixo indicado:
y=\sqrt{x+2} e x=8, em torno do eixo x;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva
y = \sqrt{x+2},
pela reta vertical
x = 8
e pelo eixo x (isto é, y=0), em torno do eixo x.
O conteúdo é o método dos discos (ou “fatias”) para sólidos de revolução: cortamos o sólido por planos perpendiculares ao eixo de rotação, obtemos discos de raio igual à função y(x) e depois integramos a área desses discos ao longo de x.

Passo 2

Primeiro precisamos achar os limites de integração. A curva encontra o eixo x quando
\sqrt{x+2} = 0
ou seja
x+2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -2.
Portanto a região vai de x=-2 até x=8.

Passo 3

Cada seção transversal perpendicular ao eixo x é um disco de raio
R(x) = y = \sqrt{x+2}.
A área desse disco é
A(x) = \pi \bigl(R(x)\bigr)^2 = \pi \bigl(\sqrt{x+2}\bigr)^2 = \pi\,(x+2).
O volume é a integral dessas áreas de -2 a 8:
V = \int_{x=-2}^{8} A(x)\,\mathrm{d}x = \int_{-2}^{8} \pi\,(x+2)\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Fatoramos o \pi e integramos:
V = \pi \int_{-2}^{8} (x+2)\,\mathrm{d}x = \pi \left[\frac{x^2}{2} + 2x\right]_{-2}^{8}.
Agora avaliamos nos extremos:
Para x=8:
\frac{8^2}{2} + 2\cdot 8 = \frac{64}{2} + 16 = 32 + 16 = 48.
Para x=-2:
\frac{(-2)^2}{2} + 2\cdot(-2) = \frac{4}{2} - 4 = 2 - 4 = -2.
A diferença é
48 - (-2) = 50.

Passo 5

Logo
V = \pi \times 50 = 50\pi.

Resposta

O volume do sólido é V = 50\pi.

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