Esboce e encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas abaixo em torno do eixo indicado:
e
, em torno do eixo
;
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva
pela reta vertical
e pelo eixo
(isto é,
), em torno do eixo
.
O conteúdo é o método dos discos (ou “fatias”) para sólidos de revolução: cortamos o sólido por planos perpendiculares ao eixo de rotação, obtemos discos de raio igual à função e depois integramos a área desses discos ao longo de
.
O conteúdo é o método dos discos (ou “fatias”) para sólidos de revolução: cortamos o sólido por planos perpendiculares ao eixo de rotação, obtemos discos de raio igual à função
Passo 2
Primeiro precisamos achar os limites de integração. A curva encontra o eixo
quando
ou seja
Portanto a região vai de
até
.
Passo 3
Cada seção transversal perpendicular ao eixo
é um disco de raio
A área desse disco é
O volume é a integral dessas áreas de
a
:
Passo 4
Fatoramos o
e integramos:
Agora avaliamos nos extremos:
Para :
Para
Para
:
A diferença é
Passo 5
Logo
Resposta
O volume do sólido é
.