Esboce e encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas abaixo em torno do eixo indicado:
y=\mathrm{e}^{x}, x=0 e y=\mathrm{e}, em torno da reta y=\mathrm{e};

Passo 1

Temos a região do plano limitada por
  • a curva y = e^x,
  • a reta vertical x = 0,
  • a reta horizontal y = e.
Queremos girar essa região em torno da reta y = e.
Para esboçar:
  1. A curva y=e^x passa por (0,1) e cresce para a direita;
  2. A reta x=0 é o eixo y entre y=1 e y=e;
  3. A reta y=e é uma horizontal acima.
O sólido resultante é obtido girando essa “faixa” vertical (entre y=1 e y=e) em torno de y=e.
O método mais direto é o das cascas cilíndricas usando tiras horizontais.

Passo 2

Considere uma tira horizontal, a uma altura y, com espessura \mathrm{d}y.
  • O raio da casca é a distância vertical até a reta de rotação:
\text{raio} = e - y.
  • A largura da casca (altura do cilindro) é o comprimento da tira em x:
x_{\text{direita}} - x_{\text{esquerda}} = \ln(y) - 0 = \ln(y).
Pela fórmula das cascas,
\mathrm{d}V = 2\pi \,\bigl(\text{raio}\bigr)\bigl(\text{altura}\bigr)\,\mathrm{d}y = 2\pi\,(e - y)\,\ln(y)\,\mathrm{d}y.

Passo 3

O volume total é a integral de \mathrm{d}V para y variando de 1 até e:
V = 2\pi \int_{y=1}^{y=e} (e - y)\,\ln(y)\,\mathrm{d}y.
Separe em duas parcelas:
V = 2\pi\biggl[e\int_{1}^{e}\ln(y)\,\mathrm{d}y \;-\;\int_{1}^{e}y\,\ln(y)\,\mathrm{d}y\biggr].

Passo 4

Calcule as integrais separadas.
  1. \displaystyle \int \ln(y)\,\mathrm{d}y = y\ln(y) - y.
  2. \displaystyle \int y\,\ln(y)\,\mathrm{d}y: por partes com u=\ln(y), \mathrm{d}v=y\,\mathrm{d}y, vem
\int y\,\ln(y)\,\mathrm{d}y = \frac{y^2}{2}\ln(y) \;-\;\int \frac{y^2}{2}\,\frac{1}{y}\,\mathrm{d}y = \frac{y^2}{2}\ln(y) - \frac{y^2}{4}.
Agora avalie de 1 a e:
  • Para \int_{1}^{e}\ln(y)\,\mathrm{d}y:
    em y=e e\cdot1 - e = 0; em y=1 1\cdot0 -1=-1.
    Então \int_{1}^{e}\ln(y)\,\mathrm{d}y = 0 - (-1) = 1.
  • Para \int_{1}^{e}y\,\ln(y)\,\mathrm{d}y:
    em y=e \tfrac{e^2}{2}\cdot1 - \tfrac{e^2}{4} = \tfrac{e^2}{4};
    em y=1 0 - \tfrac{1}{4} = -\tfrac14.
    Logo \int_{1}^{e}y\,\ln(y)\,\mathrm{d}y = \tfrac{e^2}{4} -\bigl(-\tfrac14\bigr)=\tfrac{e^2+1}{4}.

Passo 5

Substituindo em
V = 2\pi\Bigl[e\cdot1 \;-\;\frac{e^2+1}{4}\Bigr] = 2\pi\Bigl(e - \frac{e^2+1}{4}\Bigr) = \frac{\pi}{2}\,\bigl(4e - e^2 - 1\bigr).

Resposta

O volume do sólido é
V = \frac{\pi}{2}\,\bigl(4e - e^2 - 1\bigr).

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