Esboce e encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas abaixo em torno do eixo indicado:
e
, em torno da reta
;
Passo 1
Temos a região do plano limitada por
- a curva
, - a reta vertical
, - a reta horizontal
.
Queremos girar essa região em torno da reta
.
Para esboçar:
Para esboçar:
- A curva
passa por e cresce para a direita; - A reta
é o eixo entre e ; - A reta
é uma horizontal acima.
O sólido resultante é obtido girando essa “faixa” vertical (entre
e
) em torno de
.
O método mais direto é o das cascas cilíndricas usando tiras horizontais.
Passo 2
Considere uma tira horizontal, a uma altura
, com espessura
.
- O raio da casca é a distância vertical até a reta de rotação:
- A largura da casca (altura do cilindro) é o comprimento da tira em
:
Pela fórmula das cascas,
Passo 3
O volume total é a integral de
para
variando de
até
:
Separe em duas parcelas:
Passo 4
Calcule as integrais separadas.
-
-
: por partes com , , vem
Agora avalie de
a
:
- Para
:
emdá ; em dá .
Então - Para
:
emdá ;
emdá .
Logo
Passo 5
Substituindo em
Resposta
O volume do sólido é