Esboce e encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas abaixo em torno do eixo indicado:
y=\mathrm{e}^{x}, y=1 e x=1, em torno da reta y=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por
\;y=e^x,\;y=1 e \;x=1
em torno da reta \;y=1.
O conteúdo aqui é o método dos discos (ou “washers”), pois estamos girando uma região em volta de uma reta horizontal.

Passo 2

Primeiro encontramos onde y=e^x cruza y=1.
e^x = 1 \quad\Longrightarrow\quad x=0.
Assim a região fica para 0\le x\le1 e para cada x varia y de 1 até e^x. Ao girar em torno de y=1, cada fatia vertical em x gera um disco de raio externo
R(x)=e^x-1
e raio interno nulo (pois a região toca a reta y=1).

Passo 3

O volume é dado por
V =\int_{x=0}^{1} \pi\bigl(R(x)\bigr)^2\,dx =\pi\int_{0}^{1}(e^x-1)^2\,dx.

Passo 4

Expandindo o integrando:
(e^x-1)^2 =e^{2x}-2e^x+1.
Logo
\int_{0}^{1}(e^{2x}-2e^x+1)\,dx =\Bigl[\tfrac12e^{2x}-2e^x+x\Bigr]_{0}^{1} =\Bigl(\tfrac12(e^2-1)-2(e-1)+1\Bigr).
Fazendo contas:
\tfrac12(e^2-1)-2e+2+1 =\tfrac12(e^2-1)-2e+3 =\frac{e^2-4e+5}{2}.
Multiplicando por \pi, obtemos o volume.

Resposta

V =\frac{\pi}{2}\bigl(e^2-4e+5\bigr).

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