Esboce e encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas abaixo em torno do eixo indicado:
y=\frac{x^{2}}{4}, x=1 e x=4, em torno do eixo x;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rodar em torno do eixo x a região do plano limitada pela parábola
y = \frac{x^2}{4}
e pelas retas verticais x=1 e x=4.
Conteúdo: método dos discos (ou cilindrinhos), integrando em x.

Passo 2

Para cada fatia em x\in[1,4] obtemos um disco de raio igual à ordenada da parábola, isto é
R(x)=y=\frac{x^2}{4}.
O volume total vem de
V = \int_{1}^{4} \pi\bigl[R(x)\bigr]^2\,dx.

Passo 3

Substituindo R(x):
\bigl[R(x)\bigr]^2 = \Bigl(\frac{x^2}{4}\Bigr)^2 = \frac{x^4}{16},
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V = \int_{1}^{4} \pi\,\frac{x^4}{16}\,dx = \frac{\pi}{16}\,\int_{1}^{4} x^4\,dx.

Passo 4

Calculemos a integral de x^4:
\int x^4\,dx = \frac{x^5}{5},
portanto
V = \frac{\pi}{16}\,\Bigl[\frac{x^5}{5}\Bigr]_{1}^{4} = \frac{\pi}{16}\,\frac{4^5 - 1^5}{5} = \frac{\pi}{80}\,(1024 - 1) = \frac{1023\pi}{80}.

Resposta

\frac{1023\pi}{80}

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