Esboce e encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
e
:
em torno da reta
.
em torno da reta
Passo 1
Resumindo o enunciado e esboçando a região
Queremos a região do plano limitada por
Queremos a região do plano limitada por
e girá-la em torno da reta
.
No intervalo de interseção , a parábola
fica abaixo da reta
, e a reta de rotação
está acima de ambas. Usaremos o método dos anéis (discos com furo) via integração em
.
No intervalo de interseção
Passo 2
Determinar os limites de integração
Para achar as interseções resolvemos
Para achar as interseções resolvemos
Logo vamos integrar de
a
.
Passo 3
Identificar os raios externo e interno
Em cada , ao girar em torno de
:
Em cada
- o raio externo corresponde à distância da reta
até a curva mais afastada, que é . - o raio interno corresponde à distância da reta
até a curva mais próxima, que é .
Passo 4
Escrever a integral de volume
Pelo método dos anéis,
Pelo método dos anéis,
Passo 5
Calcular o integrando e a integral
Expandindo:
Expandindo:
Assim
Passo 6
Conclusão
Substituindo em :
Substituindo em
Resposta
O volume do sólido gerado pela rotação é