Esboce e encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas y=x e y=x^{2} :
em torno da reta y=1.

Passo 1

Resumindo o enunciado e esboçando a região
Queremos a região do plano limitada por
y = x^2,\quad y = x
e girá-la em torno da reta y = 1.
No intervalo de interseção 0\le x\le1, a parábola y=x^2 fica abaixo da reta y=x, e a reta de rotação y=1 está acima de ambas. Usaremos o método dos anéis (discos com furo) via integração em x.

Passo 2

Determinar os limites de integração
Para achar as interseções resolvemos
x^2 = x \quad\Longrightarrow\quad x(x-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\text{ ou }x=1.
Logo vamos integrar de x=0 a x=1.

Passo 3

Identificar os raios externo e interno
Em cada x\in[0,1], ao girar em torno de y=1:
  • o raio externo corresponde à distância da reta y=1 até a curva mais afastada, que é y=x^2. R(x)=1 - x^2.
  • o raio interno corresponde à distância da reta y=1 até a curva mais próxima, que é y=x. r(x)=1 - x.

Passo 4

Escrever a integral de volume
Pelo método dos anéis,
V = \pi\int_{0}^{1}\bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr]\,dx = \pi\int_{0}^{1}\bigl[(1 - x^2)^2 - (1 - x)^2\bigr]\,dx.

Passo 5

Calcular o integrando e a integral
Expandindo:
(1 - x^2)^2 = 1 - 2x^2 + x^4, \quad (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2,
(1 - x^2)^2 - (1 - x)^2 = x^4 - 3x^2 + 2x.
Assim
\int_{0}^{1}(x^4 - 3x^2 +2x)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^5}{5} - x^3 + x^2\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac15 -1 +1 =\tfrac15.

Passo 6

Conclusão
Substituindo em V:
V = \pi\cdot\tfrac15 = \tfrac{\pi}{5}.

Resposta

O volume do sólido gerado pela rotação é
V = \frac{\pi}{5}.

Exercícios relacionados