Sejam X e Y dois subconjuntos de \mathbb{R}, não vazios e arbitrários (limitados ou não). Definamos X+Y=\{x+y: x \in X e y \in Y\} e -X=\{-x: x \in X\}. Verifique:
Se X \subset Y, então \inf Y \leq \inf X \leq \sup X \leq \sup Y.

Passo 1

O enunciado considera dois subconjuntos não vazios X\subset Y\subset\mathbb{R} e pede para mostrar que os ínfimos e supremos dessas classes satisfazem
\inf Y \le \inf X \le \sup X \le \sup Y.
Para isso vamos usar as definições de limite inferior (lower bound) e superior (upper bound) e as propriedades de ínfimo (greatest lower bound) e supremo (least upper bound).

Passo 2

Como \inf Y é o maior limite inferior de Y, temos
\inf Y \le y,\quad \forall y\in Y.
Mas X\subset Y implica que todo x\in X também pertence a Y. Logo
\inf Y \le x,\quad \forall x\in X,
isto é, \inf Y é um limite inferior de X. Pelo fato de \inf X ser o maior desses limites inferiores de X, segue-se
\inf Y \le \inf X.

Passo 3

De modo análogo, como \sup Y é o menor limite superior de Y, vale
\sup Y \ge y,\quad \forall y\in Y.
E, novamente usando X\subset Y, temos
\sup Y \ge x,\quad \forall x\in X,
o que mostra que \sup Y é um limite superior de X. Sendo \sup X o menor limite superior de X, obtemos
\sup X \le \sup Y.

Passo 4

Finalmente, pela definição de ínfimo e supremo de X, sabemos que
\inf X \le x \le \sup X,\quad \forall x\in X.
Em particular, isso implica
\inf X \le \sup X.

Resposta

\inf Y \le \inf X \le \sup X \le \sup Y.

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