Sejam
e
dois subconjuntos de
, não vazios e arbitrários (limitados ou não). Definamos
e
e
. Verifique:
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado considera dois subconjuntos não vazios
e pede para mostrar que os ínfimos e supremos dessas classes satisfazem
Para isso vamos usar as definições de limite inferior (lower bound) e superior (upper bound) e as propriedades de ínfimo (greatest lower bound) e supremo (least upper bound).
Passo 2
Como
é o maior limite inferior de
, temos
Mas
implica que todo
também pertence a
. Logo
isto é,
é um limite inferior de
. Pelo fato de
ser o maior desses limites inferiores de
, segue-se
Passo 3
De modo análogo, como
é o menor limite superior de
, vale
E, novamente usando
, temos
o que mostra que
é um limite superior de
. Sendo
o menor limite superior de
, obtemos
Passo 4
Finalmente, pela definição de ínfimo e supremo de
, sabemos que
Em particular, isso implica