Sejam X e Y dois subconjuntos de \mathbb{R}, não vazios e arbitrários (limitados ou não). Definamos X+Y=\{x+y: x \in X e y \in Y\} e -X=\{-x: x \in X\}. Verifique:
Admita x \leq y, para arbitrários x \in X e y \in Y. Prove \sup X \leq \inf Y.

Passo 1

O enunciado diz que X e Y são subconjuntos não vazios de \mathbb{R} e que para quaisquer x\in X e y\in Y vale
x \le y.
Queremos provar que
\sup X \le \inf Y.
O conteúdo que vamos usar é a definição de supremum (máximo ínfimo) e de ínfimum (mínimo ínfimo).

Passo 2

Definições cruciais:
  • \sup X é o menor dos majorantes de X. Em particular,
    (i) para todo x\in X tem-se x\le \sup X,
    (ii) se u é qualquer majorante de X (isto é, x\le u para todo x\in X), então \sup X\le u.
  • \inf Y é o maior dos minorantes de Y. Em particular,
    (i’) para todo y\in Y tem-se \inf Y\le y,
    (ii’) se v é qualquer minorante de Y (isto é, v\le y para todo y\in Y), então v\le \inf Y.

Passo 3

Escolha um elemento arbitrário y\in Y. Pela hipótese x\le y para todo x\in X, concluímos que esse y é um majorante de X. Assim, pelo item (ii) da definição de \sup X,
\sup X \;\le\; y.

Passo 4

A desigualdade \sup X\le y vale para todo y\in Y. Logo \sup X serve de minorante para Y. Aplicando o item (ii’) da definição de \inf Y, obtemos
\sup X \;\le\; \inf Y.

Resposta

\displaystyle \sup X \le \inf Y

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