Sejam
e
dois subconjuntos de
, não vazios e arbitrários (limitados ou não). Definamos
e
e
. Verifique:
Admita
, para arbitrários
e
. Prove
.
Admita
Passo 1
O enunciado diz que
e
são subconjuntos não vazios de
e que para quaisquer
e
vale
Queremos provar que
O conteúdo que vamos usar é a definição de supremum (máximo ínfimo) e de ínfimum (mínimo ínfimo).
Passo 2
Definições cruciais:
-
é o menor dos majorantes de . Em particular,
(i) para todotem-se ,
(ii) seé qualquer majorante de (isto é, para todo ), então . -
é o maior dos minorantes de . Em particular,
(i’) para todotem-se ,
(ii’) seé qualquer minorante de (isto é, para todo ), então .
Passo 3
Escolha um elemento arbitrário
. Pela hipótese
para todo
, concluímos que esse
é um majorante de
. Assim, pelo item (ii) da definição de
,
Passo 4
A desigualdade
vale para todo
. Logo
serve de minorante para
. Aplicando o item (ii’) da definição de
, obtemos