Usando a fórmula 11-x=sumn=0^infty x^n, válida para |x|<1, obtenha uma série de potências de x para representar cada uma das funções abaixo. Em cada caso, especique o conjunto de valores de x onde a representação é válida.
11-x^2

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função 11-x^2 em série de potências usando a fórmula geométrica. O conteúdo é séries geométricas e precisamos da identidade 11-x=sumn=0^inftyx^n, válida para |x|<1.

Passo 2

Fazemos a substituição xmapsto x^2 na identidade, obtendo

Passo 3

11-x^2=sumn=0^infty(x^2)^n=sumn=0^inftyx^2n

Passo 4

Determinamos a condição de validade da série: como a fórmula original exige |x|<1, aqui precisamos de |x^2|<1, ou seja, |x|<1.

Resposta

sumn=0^inftyx^2n,válida para |x|<1á.

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