Esboce as formas de onda da tensão de entrada V_{\text {in }} e da tensão de saída V_{o}. Considere a fonte de entrada como uma senoide com 12 V de pico, R_{1}=1 k \Omega, R_{2}=1 k \Omega e o diodo com tensão direta de 0,7 \mathrm{~V} e com tensão zener de 5,1 \mathrm{~V}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Esboçar as formas de onda de V_{\text{in}} e de V_{o}.
Informações fornecidas (valores retirados do enunciado e da imagem):
  • Fonte de entrada: senoide com pico de 12\\ \text{V}. Vou usar a representação V_{\text{in}}(t)=12\sin(\omega t).
  • R_{1}=1\\ \text{k}\Omega.
  • R_{2}=1\\ \text{k}\Omega.
  • Diodo D_{1}: tensão direta (quando conduz em direta) V_{F}=0{,}7\\ \text{V}.
  • Diodo zener: tensão de zener V_{Z}=5{,}1\\ \text{V}.
  • Topologia (da imagem): R_{1} em série entre V_{\text{in}} e o nó de saída; R_{2} entre o nó e terra; diodo zener D_{1} entre o nó e terra, com o cátodo no nó e o ânodo no terra (isto é, zener reversamente polarizado quando o nó fica positivo).
Pergunta que vamos responder: descrever/mostrar as duas formas de onda (entrada e saída) e definir os níveis de recorte / as regiões de operação.

Passo 2

Conceitos básicos e comportamento qualitativo do diodo zener (aula curta e prática)
  • Um zener com cátodo positivo em relação ao ânodo:
    • Em polarização reversa, quando a tensão no cátodo-exceto-anodo atinge aproximadamente V_{Z}, o zener entra em ruptura e mantém a tensão no nó próxima de V_{Z} (com corrente circulando pelo zener).
    • Em polarização direta (cátodo negativo relativo ao anodo), o diodo se comporta como um diodo comum e conduz com queda aproximada V_{F}\approx0{,}7\\ \text{V}.
  • Quando o zener está “desligado” (nem em ruptura nem em direta), o nó entre R_{1} e R_{2} forma um divisor resistivo simples: se o diodo não conduz então V_{o} = V_{\text{in}}\cdot\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}.Aqui R_{1}=R_{2}=1\\ \text{k}\Omega logo V_{o} = \frac{1}{2}V_{\text{in}}.Isto significa que, enquanto o zener estiver desligado, a saída é simplesmente metade da entrada.

Passo 3

Determinar os pontos de comutação (quando o zener começa a conduzir em ruptura e quando o diodo conduz em direta)
  • Para o zener entrar em ruptura positiva: a divisão sem zener daria V_{o}=\tfrac{1}{2}V_{\text{in}}. A ruptura começa quando a tensão no nó tentaria ultrapassar V_{Z}, ou seja quando \tfrac{1}{2}V_{\text{in}} \ge V_{Z}\quad\Rightarrow\quad V_{\text{in}} \ge 2V_{Z}.Substituindo V_{Z}=5{,}1\\ \text{V}: V_{\text{in}}> = 2\cdot 5{,}1 = 10{,}2\\ \text{V}.Portanto, para V_{\text{in}}\ge 10{,}2\\ \text{V} o zener entra em ruptura e prende V_{o} em aproximadamente 5{,}1\\ \text{V}.
  • Para o diodo conduzir em direta (recorte negativo): a condução direta prende o nó a aproximadamente -V_{F} quando a metade da entrada tenta ficar abaixo de -V_{F}. Assim \tfrac{1}{2}V_{\text{in}} \le -V_{F}\quad\Rightarrow\quad V_{\text{in}} \le -2V_{F}.Com V_{F}=0{,}7\\ \text{V}: V_{\text{in}} \le -2\cdot 0{,}7 = -1{,}4\\ \text{V}.Portanto, para V_{\text{in}}\le -1{,}4\\ \text{V} o diodo conduz em direta e prende V_{o} em aproximadamente -0{,}7\\ \text{V}.
Comentário prático: entre as duas regiões acima ( -1{,}4\\ \text{V}<V_{\text{in}}<10{,}2\\ \text{V}) o zener está desligado e a saída segue a divisão V_{o}=\tfrac{1}{2}V_{\text{in}}.

Passo 4

Verificação de correntes nos extremos (garantir que o zener consegue manter o clamp)
  • Máxima positiva: V_{\text{in,peak}}=12\\ \text{V}. Se o zener prende V_{o}\approx 5{,}1\\ \text{V}, a corrente por R_{1} é I_{R1}=\frac{12-5{,}1}{1\\ \text{k}\Omega}= \frac{6{,}9}{1\\ \text{k}\Omega}=6{,}9\\ \text{mA}.A corrente pelo resistor de carga é I_{R2}=\frac{5{,}1}{1\\ \text{k}\Omega}=5{,}1\\ \text{mA}.Então a corrente no zener será I_{Z}=I_{R1}-I_{R2}=1{,}8\\ \text{mA} (positiva), ou seja o zener pode sustentar a ruptura e manter V_{o}\approx5{,}1\\ \text{V}.
  • Máxima negativa: V_{\text{in,neg}}=-12\\ \text{V}. Se o diodo conduz em direta e o nó fica em -0{,}7\\ \text{V}, a corrente por R_{1} é I_{R1}=\frac{-12-(-0{,}7)}{1\\ \text{k}\Omega}=\frac{-11{,}3}{1\\ \text{k}\Omega}=-11{,}3\\ \text{mA},o que significa cerca de 11{,}3\\ \text{mA} saindo do nó para a fonte através do diodo (corrente de diodo suficiente para conduzir). A carga exige \tfrac{0{,}7}{1\\ \text{k}\Omega}=0{,}7\\ \text{mA}. Logo a condução direta também é consistente.

Passo 5

Expressão temporal e intervalos angulares (para esboço preciso)
  • Usando V_{\text{in}}(t)=12\sin(\omega t), as condições de comutação ficam:
    • Zener conduz (clamp positivo) quando 12\sin(\omega t)\ge 10{,}2, isto é \sin(\omega t)\ge 0{,}85.
      • Solução principal: \omega t\in [\theta_{1},\theta_{2}] com \theta_{1}=\arcsin(0{,}85)\approx 1{,}014\\ \text{rad}\quad(58{,}12^\circ),
\theta_{2}=\pi-\theta_{1}\approx 2{,}128\\ \text{rad}\quad(121{,}88^\circ).
  • Diodo conduz em direta (clamp negativo) quando 12\sin(\omega t)\le -1{,}4, isto é \sin(\omega t)\le -0{,}116666\ldots.
    • Solução no intervalo [0,2\pi): \omega t\in[\theta_{3},\theta_{4}] com \theta_{3}=\pi+|\arcsin(0{,}116666\ldots)|\approx 3{,}258\\ \text{rad}\quad(186{,}69^\circ),
\theta_{4}=2\pi-|\arcsin(0{,}116666\ldots)|\approx 6{,}166\\ \text{rad}\quad(353{,}31^\circ).
  • Para os intervalos restantes (quando \omega t\notin[\theta_{1},\theta_{2}] e \omega t\notin[\theta_{3},\theta_{4}]) o diodo está desligado e V_{o}(t)=\tfrac{1}{2}V_{\text{in}}(t)=6\sin(\omega t).

Passo 6

Descrição do esboço das formas de onda (como desenhar na prova)
  • V_{\text{in}}(t): senoide de amplitude 12\\ \text{V} (pico a pico 24\\ \text{V}). Marcar os picos em +12\\ \text{V} e -12\\ \text{V}.
  • V_{o}(t): traçar peça por peça:
    1. Do ângulo 0 até \theta_{1} (e de \theta_{2} até \theta_{3}): desenhar uma senoide escalada de amplitude 6\\ \text{V} (ou seja V_{o}=6\sin(\omega t)). Esta é a região em que o zener/diodo estão desligados.
    2. De \theta_{1} a \theta_{2} (trecho superior perto do pico): desenhar uma linha horizontal em V_{o}=+5{,}1\\ \text{V} (recorte superior). A forma passa de 6\sin(\omega t) a esse nível e permanece plana durante esse intervalo angular.
    3. De \theta_{3} a \theta_{4} (trecho na parte negativa): desenhar uma linha horizontal em V_{o}=-0{,}7\\ \text{V} (recorte inferior).
  • Ponto de transição: as curvas 6\sin(\omega t) e as linhas de recorte se encontram exatamente nos ângulos \theta_{1},\theta_{2},\theta_{3},\theta_{4} calculados antes; desenhar transições suaves (passagem de função de seno para segmento horizontal) — em prática a mudança é rápida devido à comutação do diodo/zener.

Resposta

V_{\text{in}}(t)=12\sin(\omega t) (senoide com pico 12\\ \text{V}).
V_{o}(t)= \begin{cases} 5{,}1\\ \text{V}, & \text{se }12\sin(\omega t)\ge 10{,}2\\ \text{V}\quad(\omega t\in[1{,}014,\;2{,}128]\\ \text{rad})\\[4pt] 6\sin(\omega t), & \text{se }-1{,}4\\ \text{V}<12\sin(\omega t)<10{,}2\\ \text{V}\quad(\text{região central})\\[4pt] -0{,}7\\ \text{V}, & \text{se }12\sin(\omega t)\le -1{,}4\\ \text{V}\quad(\omega t\in[3{,}258,\;6{,}166]\\ \text{rad}) \end{cases}ã]

Exercícios relacionados