Um retificador de onda completa com derivação central constituído por diodos de silício e um capacitor de filtro C_{1}=1000 \mu F opera com uma carga resistiva R_{1}=560 \Omega. Considerando que a entrada do retificador é alimentada com uma tensão elétrica de V_{R M S}=127 \mathrm{~V} e frequência de 60 Hz , e que a tensão nos enrolamentos secundários do transformador é de de V_{2_{\text {RMS }}}=12 \mathrm{~V}, determine a corrente média de saída.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar a corrente média de saída (corrente DC entregue à carga) do retificador com filtragem por capacitor.
Informações fornecidas (peguei esses valores do enunciado e da figura):
  • V_{RMS}=127\\ \mathrm{V} (tensão de entrada da rede).
  • Frequência da rede: f=60\\ \mathrm{Hz}.
  • Tensão nos secundários do transformador: V_{2_{\mathrm{RMS}}}=12\\ \mathrm{V}.
  • Capacitor de filtro: C_{1}=1000\\ \mu\text{F}.
  • Carga resistiva: R_{1}=560\\ \Omega.
  • Diodos de silício (usar uma queda direta típica \;V_D\approx0,7\\ \mathrm{V}).

Passo 2

Entendimento físico e escolha do modelo (sem resolver ainda):
  • É um retificador de onda completa com derivação central (center-tap). Em cada semiciclo um dos enrolamentos/diodos conduz, portanto a frequência dos pulsos de carga do capacitor é o dobro da rede: f_{\text{ripple}}=2f.
  • O capacitor forma um filtro do tipo “capacitor de entrada” (reservatório). Ele carrega praticamente até a tensão de pico da meia-onda (menos a queda do diodo) e descarrega pela carga até o próximo pico. Entre picos a tensão no capacitor cai quase linearmente (aproximação de rampa) se a descarga for lenta.
  • Principais grandezas a usar:
    • Tensão de pico do secundário por meia-onda: \;V_{2\_pk}=\sqrt{2}\,V_{2_{\mathrm{RMS}}}.
    • Tensão máxima no capacitor após carga: aproximadamente \;V_{\max}=V_{2\_pk}-V_D (um único diodo em condução para cada meia-onda no esquema center-tap).
    • Corrente média de saída (que é a corrente pela carga): \;I_{o}=\dfrac{V_{DC}}{R_1}, onde \;V_{DC} é a tensão média no capacitor/saída.
    • Pico-a-pico de ripple (aproximação linear): \;\Delta V = \dfrac{I_{o}}{C\;f_{\text{ripple}}}. Aqui f_{\text{ripple}}=2f.
    • A tensão média aproximada do capacitor (com pequeno ripple triangular) pode ser aproximada por \;V_{DC}\approx V_{\max}-\dfrac{\Delta V}{2}.

Passo 3

Desenvolvimento das fórmulas e solução algébrica (passo-a-passo):
  1. Calcular \;V_{2\_pk}:
V_{2\_pk}=\sqrt{2}\,V_{2_{\mathrm{RMS}}}.
  1. Tensão máxima no capacitor após carga (subtraindo queda de diodo):
V_{\max}=V_{2\_pk}-V_D.
  1. Frequência do ripple:
f_{\text{ripple}}=2f.
  1. Relação entre ripple e corrente de carga (aproximação triangular / rampa):
\Delta V=\frac{I_{o}}{C\,f_{\text{ripple}}}.
  1. Relação média entre V_{DC}, V_{\max} e \Delta V:
V_{DC}\approx V_{\max}-\frac{\Delta V}{2}.
  1. Substituindo \Delta V em termos de I_{o} e lembrando que I_{o}=V_{DC}/R_1, obtemos uma equação para V_{DC}:
V_{DC}=V_{\max}-\frac{1}{2}\frac{I_{o}}{C\,f_{\text{ripple}}} =V_{\max}-\frac{1}{2}\frac{V_{DC}}{R_1 C f_{\text{ripple}}}.
  1. Arrumando termos para isolar V_{DC}:
V_{DC}\left(1+\frac{1}{2 R_1 C f_{\text{ripple}}}\right)=V_{\max}.
Portanto
V_{DC}=\frac{V_{\max}}{1+\dfrac{1}{2 R_1 C f_{\text{ripple}}}}.
Essa fórmula dá V_{DC} levando em conta o pequeno ripple e a descarga pela carga; é uma equação linear e direta (não precisa iteração se a aproximação triangular for válida).

Passo 4

Substituição numérica (contas passo a passo; peguei os números do enunciado/figura):
  1. Calcular \;V_{2\_pk}:
V_{2\_pk}=\sqrt{2}\cdot 12\\ \mathrm{V}\approx 12\cdot 1{,}4142 \approx 16{,}9706\\ \mathrm{V}.
  1. Usar queda direta do diodo de silício \;V_D\approx 0{,}7\\ \mathrm{V}. Então
V_{\max}=V_{2\_pk}-V_D \approx 16{,}9706-0{,}7 \approx 16{,}2706\\ \mathrm{V}.
  1. Frequência do ripple:
f_{\text{ripple}}=2\cdot 60\\ \mathrm{Hz}=120\\ \mathrm{Hz}.
  1. Calcular o fator 2 R_1 C f_{\text{ripple}} que aparece no denominador:
2 R_1 C f_{\text{ripple}} = 2\cdot 560\\ \Omega \cdot 1000\\ \mu\text{F} \cdot 120\\ \mathrm{Hz}.
Converter C=1000\\ \mu\text{F}=1000\times 10^{-6}\\ \mathrm{F}=1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{F}. Então
2 R_1 C f_{\text{ripple}} = 2\cdot 560 \cdot 1{,}0\times 10^{-3}\cdot 120 = 134{,}4.
  1. Portanto o termo 1+\dfrac{1}{2 R_1 C f_{\text{ripple}}} vale
1+\frac{1}{2 R_1 C f_{\text{ripple}}}=1+\frac{1}{134{,}4}\approx 1{,}0074405.
  1. Agora calcular V_{DC}:
V_{DC}=\frac{V_{\max}}{1+\dfrac{1}{2 R_1 C f_{\text{ripple}}}} \approx\frac{16{,}2706}{1{,}0074405}\approx 16{,}1497\\ \mathrm{V}.
  1. Como verificação útil, calcular o ripple pico-a-pico \Delta V (para sentir a ordem de grandeza):
\Delta V=\frac{V_{DC}}{R_1 C f_{\text{ripple}}}.
Aqui R_1 C f_{\text{ripple}}=560\cdot 1{,}0\times 10^{-3}\cdot 120=67{,}2. Logo
\Delta V\approx\frac{16{,}1497}{67{,}2}\approx 0{,}2403\\ \mathrm{V}.
Isso confirma que o ripple é pequeno (≈ 240\\ \mathrm{mV_{pp}}), então a aproximação triangular usada foi adequada.

Passo 5

Fórmula final para a corrente média de saída e preparação para relatório final:
  • A corrente média de saída (média DC que flui pela carga) é dada por:
I_{o}=\frac{V_{DC}}{R_1}.
  • Substituindo o valor calculado de V_{DC} obtém-se a corrente média buscada. (O cálculo numérico final está na seção de resposta.)

Resposta

I_{o}\approx 28{,}84\\ \mathrm{mA}

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