Esboce o gráfico aproximado da seguinte função:
g(x)=1x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função racional g(x)=1x^2-1. O conteúdo é estudo de funções racionais, e vamos precisar identificar domínio, interceptos, assíntotas e sinal em cada intervalo para depois desenhar o esboço.

Passo 2

Identificar o domínio eliminando valores que anulam o denominador. Temos x^2-1=0 quando x=pm1, logo o domínio é xin(-infty,-1)cup(-1,1)cup(1,+infty).

Passo 3

Calcular interceptos com os eixos. Para intercepto em y, fazemos x=0: g(0)=1/(0^2-1)=-1. Não há intercepto em x, pois o numerador é constante 1 e nunca zera.

Passo 4

Determinar assíntotas. Verticais em x=1 e x=-1 (pois o denominador se anula). Horizontal em y=0, pois limxtopminftyg(x)=0.

Passo 5

Analisar o sinal de g(x) em cada intervalo: para x<-1, x^2-1>0 então g(x)>0; para -1, x^2-1<0 então g(x)<0; para x>1, x^2-1>0 então g(x)>0.

Passo 6

Estudar o comportamento junto às assíntotas: de xto1^-, x^2-1to0^- e g(x)to-infty; de xto1^+, g(x)to+infty. Similarmente em x=-1: de xto-1^-, g(x)to+infty; de xto-1^+, g(x)to-infty.

Passo 7

Com todas as informações podemos desenhar o esboço: um ramo positivo para x<-1 que decresce de 0 (quando xto-infty) até +infty (quando xto-1^-); um ramo negativo em -1 que vai de -infty a -1 em x=0 e volta a -infty; e um ramo positivo para x>1 que sai de +infty em x=1^+ e decresce para 0 em +infty, respeitando as assíntotas verticais x=pm1 e horizontal y=0.

Resposta

O esboço tem três ramos: 1) para x<−1, g(x)>0 decresce de y≈0 (em x→−∞) até +∞ (em x→−1−); 2) para −1<x<1, g(x)<0 vai de −∞ (em x→−1+) a g(0)=−1 e volta a −∞ (em x→1−); 3) para x>1, g(x)>0 sai de +∞ (em x→1+) e decresce a y≈0 (em x→+∞). As assíntotas são x=±1 (verticais) e y=0 (horizontal).

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