Esboce o gráfico aproximado da seguinte função:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função racional
. O conteúdo é estudo de funções racionais, e vamos precisar identificar domínio, interceptos, assíntotas e sinal em cada intervalo para depois desenhar o esboço.
Passo 2
Identificar o domínio eliminando valores que anulam o denominador. Temos
quando
, logo o domínio é
.
Passo 3
Calcular interceptos com os eixos. Para intercepto em
, fazemos
:
. Não há intercepto em
, pois o numerador é constante
e nunca zera.
Passo 4
Determinar assíntotas. Verticais em
e
(pois o denominador se anula). Horizontal em
, pois
.
Passo 5
Analisar o sinal de
em cada intervalo: para
,
então
; para
,
então
; para
,
então
.
Passo 6
Estudar o comportamento junto às assíntotas: de
,
e
; de
,
. Similarmente em
: de
,
; de
,
.
Passo 7
Com todas as informações podemos desenhar o esboço: um ramo positivo para
que decresce de 0 (quando
) até
(quando
); um ramo negativo em
que vai de
a
em
e volta a
; e um ramo positivo para
que sai de
em
e decresce para 0 em
, respeitando as assíntotas verticais
e horizontal
.
Resposta
O esboço tem três ramos: 1) para x<−1, g(x)>0 decresce de y≈0 (em x→−∞) até +∞ (em x→−1−); 2) para −1<x<1, g(x)<0 vai de −∞ (em x→−1+) a g(0)=−1 e volta a −∞ (em x→1−); 3) para x>1, g(x)>0 sai de +∞ (em x→1+) e decresce a y≈0 (em x→+∞). As assíntotas são x=±1 (verticais) e y=0 (horizontal).