Esboce o gráfico de cada função abaixo e determine seus pontos de máximo e mínimo locais, seus pontos de inflexão e as equações de suas assíntotas, se existirem.
f(x)=e^x1+e^x

Passo 1

A função é f(x)=e^x1+e^x. Vamos usar derivadas para achar monotonias, extremos e pontos de inflexão, e limites para as assíntotas.

Passo 2

Primeiro, observamos que o domínio de f é todo o conjunto dos reais e que f é suave (derivável em R).

Passo 3

Calculamos a derivada primeira para ver onde f é crescente ou decrescente:
f'(x)=e^x(1+e^x)-e^xcdot e^x(1+e^x)^2=e^x(1+e^x)^2
Como e^x>0 e (1+e^x)^2>0 para todo x, concluímos que f'(x)>0 em R. Logo, f é estritamente crescente e não tem pontos de máximo ou mínimo locais.

Passo 4

Agora a segunda derivada para achar inflexões:
$$f’’(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{ex}{(1+ex)2}\Bigr)=\frac{ex(1+ex)2 - ex\cdot2(1+ex)ex}{(1+ex)^4}.
f''(x)=ddxl(e^x(1+e^x)^2r)=e^x(1+e^x)^2 - e^xcdot2(1+e^x)e^x(1+e^x)^4 ex\bigl((1+ex)^2 - 2ex(1+ex)\bigr)=ex(1+2ex+e^{2x} -2e^x -2e{2x})=ex(1 - e^x).
e^xl((1+e^x)^2 - 2e^x(1+e^x)r)=e^x(1+2e^x+e^2x -2e^x -2e^2x)=e^x(1 - e^x) ãf’’(x)=\frac{ex(1-ex)}{(1+ex)3}.
$$
A segunda derivada muda de sinal em f''(x)=e^x(1-e^x)(1+e^x)^3 : para x=0, x<0 e e^x<1 (concavidade para cima); para f''(x)>0, x>0 e e^x>1 (concavidade para baixo). Assim, há ponto de inflexão em f''(x)<0, onde x=0.

Passo 5

Por fim, as assíntotas horizontais vêm dos limites:
limxto-inftyf(x)=0, limxto+inftyf(x)=1
Não há assíntotas verticais porque f é definida em todo R.

Passo 6

O esboço é a sigmoide S que cresce de 0 a 1, cruza (0,tfrac12) com mudança de concavidade ali.

Resposta

Não há máximos nem mínimos locais; ponto de inflexão em (0,tfrac12); assíntotas horizontais em y=0 e y=1.

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