Esboce o gráfico de cada função abaixo e determine seus pontos de máximo e mínimo locais, seus pontos de inflexão e as equações de suas assíntotas, se existirem.
Passo 1
A função é
. Vamos usar derivadas para achar monotonias, extremos e pontos de inflexão, e limites para as assíntotas.
Passo 2
Primeiro, observamos que o domínio de
é todo o conjunto dos reais e que
é suave (derivável em
).
Passo 3
Calculamos a derivada primeira para ver onde
é crescente ou decrescente:
Como
Passo 4
Agora a segunda derivada para achar inflexões:
$$f’’(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{ex}{(1+ex)2}\Bigr)=\frac{ex(1+ex)2 - ex\cdot2(1+ex)ex}{(1+ex)^4}.
$$
A segunda derivada muda de sinal em : para
,
e
(concavidade para cima); para
,
e
(concavidade para baixo). Assim, há ponto de inflexão em
, onde
.
A segunda derivada muda de sinal em
Passo 5
Por fim, as assíntotas horizontais vêm dos limites:
Não há assíntotas verticais porque
Passo 6
O esboço é a sigmoide S que cresce de 0 a 1, cruza
com mudança de concavidade ali.
Resposta
Não há máximos nem mínimos locais; ponto de inflexão em
; assíntotas horizontais em
e
.