Determine uma função de x que torne a EDO
(2x^3 + 3y) , dx + (3x + y - 1) , dy =0
uma equação exata. Em seguida, determine a solução da EDO.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma função de $ x $ que transforme a equação diferencial
x
em uma equação exata. Depois disso, precisamos determinar a solução dessa EDO. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar um fator integrante que nos ajude a torná-la exata.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação diferencial dada já é exata. Uma EDO da forma $ M , dx + N , dy = 0 $ é exata se a derivada de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada de $ N $ em relação a $ x $.
Então, identificamos:
M , dx + N , dy = 0
Agora, vamos calcular as derivadas:
M
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação já é exata!

Passo 3

Já que a equação é exata, não precisamos encontrar um fator integrante adicional. Agora, vamos encontrar a solução geral da EDO.
Sabemos que, para uma EDO exata, existe uma função $ \Phi(x, y) $ tal que:
Phi(x, y)
Vamos encontrar $ \Phi(x, y) $ integrando $ M $ em relação a $ x $:
partial Phipartial x = M e partial Phipartial y = N
onde $ h(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $.

Passo 4

Agora, vamos determinar $ h(y) $ usando a segunda condição:
h(y)
Calculando a derivada de $ \Phi $ em relação a $ y $:
partial Phipartial y = N
Igualando a $ N $:
Phi
Simplificando:
y
Integrando em relação a $ y $:
partial Phipartial y = 3x + h'(y)
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 5

Agora, substituímos $ h(y) $ na expressão de $ \Phi(x, y) $:
h(y)
A solução geral da EDO é dada por:
Phi(x, y)
Então, temos:
Phi(x, y) = 12x^4 + 3x y + 12y^2 - y + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
12x^4 + 3x y + 12y^2 - y = C
onde $ C $ é uma constante.

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