Determine uma função de
que torne a
uma equação exata. Em seguida, determine a solução da EDO.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma função de $ x $ que transforme a equação diferencial
em uma equação exata. Depois disso, precisamos determinar a solução dessa EDO. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar um fator integrante que nos ajude a torná-la exata.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação diferencial dada já é exata. Uma EDO da forma $ M , dx + N , dy = 0 $ é exata se a derivada de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada de $ N $ em relação a $ x $.
Então, identificamos:
Agora, vamos calcular as derivadas:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação já é exata!
Passo 3
Já que a equação é exata, não precisamos encontrar um fator integrante adicional. Agora, vamos encontrar a solução geral da EDO.
Sabemos que, para uma EDO exata, existe uma função $ \Phi(x, y) $ tal que:
Vamos encontrar $ \Phi(x, y) $ integrando $ M $ em relação a $ x $:
onde $ h(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $.
Passo 4
Agora, vamos determinar $ h(y) $ usando a segunda condição:
Calculando a derivada de $ \Phi $ em relação a $ y $:
Igualando a $ N $:
Simplificando:
Integrando em relação a $ y $:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Agora, substituímos $ h(y) $ na expressão de $ \Phi(x, y) $:
A solução geral da EDO é dada por:
Então, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde $ C $ é uma constante.