Esboce o gráfico de cada função abaixo e determine seus pontos de máximo e mínimo locais, seus pontos de inflexão e as equações de suas assíntotas, se existirem.
Passo 1
O enunciado pede que a gente esboce o gráfico de
determine pontos de máximo e mínimo locais, pontos de inflexão e equações de assíntotas. O conteúdo é “esboço de curvas”: vamos precisar do domínio, derivadas primeira e segunda, análise de limites e concavidade.
Passo 2
Começamos pelo domínio e pelas assíntotas verticais e horizontais. Como aparece
, o domínio é
. Em
temos assíntota vertical. Verificamos:
limite quando :
limite quando
e quando
:
Para
,
e
, então
Logo, assíntotas: vertical em
e horizontal em
.
Passo 3
Agora vamos achar a derivada para ver monotonicidade e extremos. Definindo
temos
$$u’(x)=\frac{2}{x^2},\quad v’(x)=e{2/x}\cdot\bigl(-\tfrac{2}{x2}\bigr).
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
=\frac{2}{x^2}e^{2/x}-(1-\tfrac{2}{x})\frac{2}{x^2}e^{2/x}
=\frac{4}{x^3}e^{2/x}.
$$
Como , o sinal de
é o de
: é negativo em
e positivo em
. Assim,
cai em
e cresce em
. Não há pontos críticos internos (
nunca zera), logo não existem máximos ou mínimos locais.
Como
Passo 4
Para achar pontos de inflexão, calculamos a segunda derivada. Partindo de
usamos a regra do produto de novo ou derivamos diretamente e obtemos
$$
f''(x)=-4e^{2/x}\frac{2+3x}{x^5}.
2+3x=0\quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{2}{3}.
$$
Passo 5
Com todas as informações: domínio
, assíntotas em
(vertical) e
(horizontal), monotonicidade decrescente em
e crescente em
, sem extremos locais, e inflexão em
. A partir disso a gente esboça o gráfico mostrando essas características.
Resposta
Sem extremos locais; ponto de inflexão em
; assíntotas: vertical
, horizontal
.