Esboce o gráfico de cada função abaixo e determine seus pontos de máximo e mínimo locais, seus pontos de inflexão e as equações de suas assíntotas, se existirem.
f(x)=(1-2x) e^2 / x

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce o gráfico de
f(x)=l(1-2xr)e^2/x,
determine pontos de máximo e mínimo locais, pontos de inflexão e equações de assíntotas. O conteúdo é “esboço de curvas”: vamos precisar do domínio, derivadas primeira e segunda, análise de limites e concavidade.

Passo 2

Começamos pelo domínio e pelas assíntotas verticais e horizontais. Como aparece 2/x, o domínio é xneq0. Em x=0 temos assíntota vertical. Verificamos:
limite quando xto0^+:
f(x)=l(1-tfrac2xr)e^2/xsiml(-tfrac2xr)e^2/xto-infty,
e quando xto0^-:
f(x)=l(1-tfrac2xr)e^2/xsimtfrac2|x|e^-2/|x|to0
Para xtopminfty, 2/xto0 e e^2/xto1, então
f(x)to1
Logo, assíntotas: vertical em x=0 e horizontal em y=1.

Passo 3

Agora vamos achar a derivada para ver monotonicidade e extremos. Definindo
u(x)=1-tfrac2x, v(x)=e^2/x,
temos
$$u’(x)=\frac{2}{x^2},\quad v’(x)=e{2/x}\cdot\bigl(-\tfrac{2}{x2}\bigr).
u'(x)=2x^2, v'(x)=e^2/xcdotl(-tfrac2x^2r)
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
       =\frac{2}{x^2}e^{2/x}-(1-\tfrac{2}{x})\frac{2}{x^2}e^{2/x}
       =\frac{4}{x^3}e^{2/x}.
$$
Como f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =2x^2e^2/x-(1-tfrac2x)2x^2e^2/x =4x^3e^2/x , o sinal de e^2/x>0 é o de f': é negativo em 1/x^3 e positivo em x<0. Assim, x>0 cai em f e cresce em (-infty,0). Não há pontos críticos internos ( (0,infty) nunca zera), logo não existem máximos ou mínimos locais.

Passo 4

Para achar pontos de inflexão, calculamos a segunda derivada. Partindo de
f'(x)=4x^3e^2/x,
usamos a regra do produto de novo ou derivamos diretamente e obtemos
$$
f''(x)=-4e^{2/x}\frac{2+3x}{x^5}.
f''(x)=-4e^2/x2+3xx^5
2+3x=0\quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{2}{3}.
f''(x)=0ôãôãôãf(-\tfrac{2}{3})=4e^{-3}.
$$

Passo 5

Com todas as informações: domínio ( -infty,0)cup(0,infty), assíntotas em x=0 (vertical) e y=1 (horizontal), monotonicidade decrescente em ( -infty,0) e crescente em (0,infty), sem extremos locais, e inflexão em (-tfrac23,4e^-3). A partir disso a gente esboça o gráfico mostrando essas características.

Resposta

Sem extremos locais; ponto de inflexão em l(-tfrac23,4e^-3r); assíntotas: vertical x=0, horizontal y=1.

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