Esboce o gráfico de cada função, especificando o domínio e a imagem.
Passo 1
A questão pede para esboçar o gráfico de f(x)=√(2−|x−3|), identificar domínio e imagem; o conteúdo é análise de função composta (valor absoluto + raiz quadrada) e precisamos usar: definição de domínio pela condição de radicando ≥
0, propriedades de |x−a| e raciocínio de gráfico em pedaços.
0, propriedades de |x−a| e raciocínio de gráfico em pedaços.
Passo 2
Para achar o domínio, imposto 2−|x−3|≥0. Isso dá |x−3|≤2, ou seja x−3≤2 e x−3≥−2. Logo
Então o domínio é o intervalo [1,5].
Passo 3
Para esboçar o gráfico, é útil tirar o valor absoluto em cada ramo:
Para 1≤x≤3, |x−3|=3−x e
Para 1≤x≤3, |x−3|=3−x e
Passo 4
Para 3≤x≤5, |x−3|=x−3 e
Passo 5
Agora, marcamos pontos-chaves: em x=1 e x=5, f=√0=0; em x=3, f=√2. Entre 1 e 3 a curva cresce como √(x−1), atinge máximo √2 em x=3; entre 3 e 5 decresce como √(5−x) até zero em x=5. É simétrica em x=3.
O esboço fica com vértice em (3,√2) e zeros nos pontos (1,0) e (5,0), formando uma “montanha” suave.
O esboço fica com vértice em (3,√2) e zeros nos pontos (1,0) e (5,0), formando uma “montanha” suave.
Resposta
Domínio: [1,5]
Imagem: [0,√2]
Imagem: [0,√2]