Seja f uma função derivável cujo gráfico contém o ponto (1,1). Sabendo que lim x 1 x f(x)-1x-1=1
a equação da reta tangente ao gráfico de f em (1,1) é:
Escolha uma opção:
y=1
y=-2 x+3
y=-x+2
Nenhuma das demais alternativas
y=2 x-1
y=x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f $ que é derivável e passa pelo ponto $ (1,1) $. Além disso, foi dado que:
f
Nosso objetivo é encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de $ f $ nesse ponto $ (1,1) $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como elas estão relacionadas com a reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite dado:
limx 1 x f(x) - 1x - 1 = 1
Esse limite se parece com a definição da derivada, mas não está exatamente na forma padrão. Vamos tentar manipular a expressão para chegar a algo que envolva $ f’(1) $, que é a derivada de $ f $ em $ x = 1 $.

Passo 3

Vamos expandir a expressão no numerador:
x f(x) - 1 = x f(x) - f(1)
Porque sabemos que $ f(1) = 1 $. Então, a expressão fica:
f(1) = 1
Isso se parece com a definição da derivada da função $ g(x) = x f(x) $ em $ x = 1 $.

Passo 4

Vamos definir $ g(x) = x f(x) $. A derivada de $ g $ em $ x = 1 $ é:
g(x) = x f(x)
Então, sabemos que $ g’(1) = 1 $.

Passo 5

Agora, vamos calcular $ g’(x) $ usando a regra do produto:
g'(x)
Portanto, em $ x = 1 $:
g'(x) = ddx [x f(x)] = f(x) + x f'(x)
Mas já sabemos que $ g’(1) = 1 $, então:
x = 1

Passo 6

A derivada $ f’(1) $ representa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de $ f $ no ponto $ (1,1) $. Então, temos:
f'(1)
Agora, usando a equação da reta tangente na forma:
f
Onde $ (x_0, y_0) = (1,1) $ e $ m = 0 $, temos:
(1,1)

Resposta

A equação da reta tangente é $ y = 1 $.

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