Seja
uma função derivável cujo gráfico contém o ponto
. Sabendo que
a equação da reta tangente ao gráfico de
em
é:
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
a equação da reta tangente ao gráfico de
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f $ que é derivável e passa pelo ponto $ (1,1) $. Além disso, foi dado que:
Nosso objetivo é encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de $ f $ nesse ponto $ (1,1) $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como elas estão relacionadas com a reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite dado:
Esse limite se parece com a definição da derivada, mas não está exatamente na forma padrão. Vamos tentar manipular a expressão para chegar a algo que envolva $ f’(1) $, que é a derivada de $ f $ em $ x = 1 $.
Passo 3
Vamos expandir a expressão no numerador:
Porque sabemos que $ f(1) = 1 $. Então, a expressão fica:
Isso se parece com a definição da derivada da função $ g(x) = x f(x) $ em $ x = 1 $.
Passo 4
Vamos definir $ g(x) = x f(x) $. A derivada de $ g $ em $ x = 1 $ é:
Então, sabemos que $ g’(1) = 1 $.
Passo 5
Agora, vamos calcular $ g’(x) $ usando a regra do produto:
Portanto, em $ x = 1 $:
Mas já sabemos que $ g’(1) = 1 $, então:
Passo 6
A derivada $ f’(1) $ representa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de $ f $ no ponto $ (1,1) $. Então, temos:
Agora, usando a equação da reta tangente na forma:
Onde $ (x_0, y_0) = (1,1) $ e $ m = 0 $, temos:
Resposta
A equação da reta tangente é $ y = 1 $.