Esboce o gráfico de cada função, especificando o domínio e a imagem.

Passo 1

A função dada é f(x)=−\frac{4−x}{|4−x|}. O conteúdo aqui envolve interpretação de valor absoluto e análise de função por partes. Para resolver, vamos usar a definição de valor absoluto e estudar os sinais de (4−x).

Passo 2

Primeiro vamos achar o domínio: a expressão tem |4−x| no denominador, então precisamos de |4−x|≠0. Isso acontece sempre que 4−x≠0, ou seja, x≠4. Portanto o domínio é xin R:xneq4.

Passo 3

Em seguida simplificamos a fórmula usando a propriedade |4−x|=|x−4| e −(4−x)=x−4. Logo
f(x)=x−4|x−4|

Passo 4

Para x>4, temos x−4>0, então |x−4|=x−4 e
f(x)=x−4x−4=1

Passo 5

Para x<4, temos x−4<0, então |x−4|=−(x−4)=4−x e
f(x)=x−44−x=-1

Passo 6

Portanto o gráfico é uma linha horizontal y=−1 para x<4 e y=1 para x>4, com círculos abertos em x=4 nos dois níveis (já que f(4) não está definida).
A imagem (contradomínio efetivo) são os valores que f assume: {−1,1}.

Resposta

Domínio: xin R:xneq4. Imagem: −1,1. Gráfico: duas retas horizontais, y=−1 para x<4 e y=1 para x>4, ambas com ponto aberto em x=4.

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