Esboce o gráfico de cada função, especificando o domínio e a imagem.
Passo 1
A função dada é f(x)=−\frac{4−x}{|4−x|}. O conteúdo aqui envolve interpretação de valor absoluto e análise de função por partes. Para resolver, vamos usar a definição de valor absoluto e estudar os sinais de (4−x).
Passo 2
Primeiro vamos achar o domínio: a expressão tem |4−x| no denominador, então precisamos de |4−x|≠0. Isso acontece sempre que 4−x≠0, ou seja, x≠4. Portanto o domínio é
.
Passo 3
Em seguida simplificamos a fórmula usando a propriedade |4−x|=|x−4| e −(4−x)=x−4. Logo
Passo 4
Para x>4, temos x−4>0, então |x−4|=x−4 e
Passo 5
Para x<4, temos x−4<0, então |x−4|=−(x−4)=4−x e
Passo 6
Portanto o gráfico é uma linha horizontal y=−1 para x<4 e y=1 para x>4, com círculos abertos em x=4 nos dois níveis (já que f(4) não está definida).
A imagem (contradomínio efetivo) são os valores que f assume: {−1,1}.
A imagem (contradomínio efetivo) são os valores que f assume: {−1,1}.
Resposta
Domínio:
. Imagem:
. Gráfico: duas retas horizontais, y=−1 para x<4 e y=1 para x>4, ambas com ponto aberto em x=4.