Determine o limite na forma de uma fração irredutível
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o limite da expressão
quando
tende ao infinito. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites, especialmente lidando com funções que têm raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e encontrar um valor que a expressão se aproxima quando
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão
. Quando
cresce, os termos constantes (como o “+1”) se tornam insignificantes comparados aos termos que têm
. Então, para facilitar, podemos fatorar
de dentro das raízes quadradas.
Passo 3
Vamos reescrever as raízes quadradas separando
:
Passo 4
Agora, substituímos essas expressões na fração original:
Passo 5
Vamos simplificar a fração:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Agora, observamos que quando
tende ao infinito,
e
tendem a zero. Portanto:
Assim, a fração se aproxima de: