Determine o limite na forma de uma fração irredutível ab :
lim x +infty raizx+1raiz9 x+1
a=
b=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o limite da expressão raizx+1raiz9x+1 quando x tende ao infinito. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites, especialmente lidando com funções que têm raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e encontrar um valor que a expressão se aproxima quando x fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão raizx+1raiz9x+1. Quando x cresce, os termos constantes (como o “+1”) se tornam insignificantes comparados aos termos que têm x. Então, para facilitar, podemos fatorar x de dentro das raízes quadradas.

Passo 3

Vamos reescrever as raízes quadradas separando x:
raizx+1 = raizx (1 + 1x) = raizx cdot raiz1 + 1x
raiz9x+1 = raiz9x (1 + 19x) = raiz9x cdot raiz1 + 19x

Passo 4

Agora, substituímos essas expressões na fração original:
raizx+1raiz9x+1 = raizx cdot raiz1 + 1xraiz9x cdot raiz1 + 19x

Passo 5

Vamos simplificar a fração:
raizxraiz9x = 1raiz9 = 13
Então, a expressão fica:
13 cdot raiz1 + 1xraiz1 + 19x

Passo 6

Agora, observamos que quando x tende ao infinito, 1x e 19x tendem a zero. Portanto:
raiz1 + 1x approx raiz1 = 1
raiz1 + 19x approx raiz1 = 1
Assim, a fração se aproxima de:
13 cdot 11 = 13

Resposta

a=1
b=3

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