Seja f: R R tal que
1+x^2+x^63 <= f(x)+1 <= sec x^2+x^63
para todo x in R.
Calcule
lim x 0(f(x) cos (1x+x^2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ que satisfaz uma certa desigualdade para todo $ x $. Nosso objetivo é calcular o limite de $ f(x) \cos\left(\frac{1}{x + x^{2}}\right) $ quando $ x $ se aproxima de 0. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites, desigualdades e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a desigualdade que o $ f(x) $ satisfaz:
f(x)
Vamos isolar o $ f(x) $ na desigualdade:
1 + x^2 + x^63 <= f(x) + 1 <= sec(x^2) + x^63
Simplificando:
f(x)

Passo 3

Agora, queremos encontrar $ \lim_{x \rightarrow 0} \left(f(x) \cos\left(\frac{1}{x + x^{2}}\right)\right) $. Observamos que $ \cos\left(\frac{1}{x + x^{2}}\right) $ é uma função oscilante, já que o argumento $ \frac{1}{x + x^{2}} $ tende para infinito quando $ x $ se aproxima de 0. No entanto, o cosseno está sempre limitado entre -1 e 1:
limx 0 (f(x) cos(1x + x^2))

Passo 4

Vamos multiplicar a desigualdade que encontramos para $ f(x) $ pelos limites do cosseno:
f(x)
Simplificando:
x^2 cdot (-1) + x^63 cdot (-1) <= f(x) cos(1x + x^2) <= (sec(x^2) - 1 + x^63) cdot 1

Passo 5

Vamos analisar o comportamento dos limites das extremidades quando $ x $ tende para 0.
Primeiro, sabemos que $ x^{2} $ e $ x^{6} $ tendem a 0 quando $ x $ tende para 0. Portanto, o lado esquerdo da desigualdade:
x
Agora, para o lado direito, precisamos lembrar que $ \sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)} $. Quando $ \theta $ tende para 0, $ \cos(\theta) $ tende para 1, então $ \sec(\theta) $ também tende para 1:
x^2
Portanto, o lado direito:
x^6

Passo 6

Temos agora que:
- x^2 - x^63 <= f(x) cos(1x + x^2) <= sec(x^2) - 1 + x^63
E ambos os lados tendem para 0 quando $ x $ tende para 0. Pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema dos Potes), se uma função está “espremida” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tende para esse limite.

Resposta

limx 0 (f(x) cos(1x + x^2)) = 0

Exercícios relacionados