Seja
tal que
para todo
.
Calcule
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ que satisfaz uma certa desigualdade para todo $ x $. Nosso objetivo é calcular o limite de $ f(x) \cos\left(\frac{1}{x + x^{2}}\right) $ quando $ x $ se aproxima de 0. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites, desigualdades e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a desigualdade que o $ f(x) $ satisfaz:
Vamos isolar o $ f(x) $ na desigualdade:
Simplificando:
Passo 3
Agora, queremos encontrar $ \lim_{x \rightarrow 0} \left(f(x) \cos\left(\frac{1}{x + x^{2}}\right)\right) $. Observamos que $ \cos\left(\frac{1}{x + x^{2}}\right) $ é uma função oscilante, já que o argumento $ \frac{1}{x + x^{2}} $ tende para infinito quando $ x $ se aproxima de 0. No entanto, o cosseno está sempre limitado entre -1 e 1:
Passo 4
Vamos multiplicar a desigualdade que encontramos para $ f(x) $ pelos limites do cosseno:
Simplificando:
Passo 5
Vamos analisar o comportamento dos limites das extremidades quando $ x $ tende para 0.
Primeiro, sabemos que $ x^{2} $ e $ x^{6} $ tendem a 0 quando $ x $ tende para 0. Portanto, o lado esquerdo da desigualdade:
Agora, para o lado direito, precisamos lembrar que $ \sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)} $. Quando $ \theta $ tende para 0, $ \cos(\theta) $ tende para 1, então $ \sec(\theta) $ também tende para 1:
Portanto, o lado direito:
Passo 6
Temos agora que:
E ambos os lados tendem para 0 quando $ x $ tende para 0. Pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema dos Potes), se uma função está “espremida” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tende para esse limite.