Esboce o gráfico de cada função
a seguir, e determine o que se pede:
a)
-
- intervalos onde
é contínua.
a)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de uma função definida por partes, calcular vários limites e identificar onde ela é contínua. O conteúdo envolve funções elementares (logaritmo natural e exponencial), limites laterais e continuidade de funções definidas por partes.
Passo 2
Para \lim_{x\to -\infty} f(x), note que, quando x\le0, f(x)=e^x. Como \lim_{t\to -\infty} e^t=0, temos $$ \lim_{x\to -\infty} f(x)=0. $$
Passo 3
Para \lim_{x\to0^-} f(x), aproximando x de 0 pela esquerda (x<0), usamos f(x)=e^x. Então $$ \lim_{x\to0^-} f(x)=e^0=1. $$
Passo 4
Para \lim_{x\to0^+} f(x), aproximando x de 0 pela direita (x>0), usamos f(x)=\ln x. E sabemos que $$ \lim_{t\to0^+} \ln t=-\infty, $
\lim_{x\to0^+} f(x)=-\infty. $$
Passo 5
Como as duas limitantes em x=0 são diferentes (1 e -\infty), o limite \lim_{x\to0} f(x) não existe.
Passo 6
Para \lim_{x\to1} f(x), como 1>0 usamos f(x)=\ln x continuamente, daí $$ \lim_{x\to1} f(x)=\ln1=0. $$
Passo 7
Para \lim_{x\to-1} f(x), -1<0 então f(x)=e^x, logo $$ \lim_{x\to-1} f(x)=e^{-1}=\frac{1}{e}. $$
Passo 8
Para \lim_{x\to e} f(x), e>0 usamos f(x)=\ln x, assim $$ \lim_{x\to e} f(x)=\ln e=1. $$
Passo 9
Para \lim_{x\to+\infty} f(x), x>0 vale f(x)=\ln x e sabemos que $$ \lim_{t\to+\infty} \ln t=+\infty, $
\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty. $$
Passo 10
Cada parte (e^x para x\le0 e ln x para x>0) é contínua em seu domínio. Só resta checar x=0: f(0)=e^0=1, mas \lim_{x\to0^+} f(x)=-\infty\neq1, então há descontinuidade em 0. Assim f é contínua em (-\infty,0) e em (0,\infty).
Resposta
lim_{x\to -\infty} f(x)=0; lim_{x\to0^-} f(x)=1; lim_{x\to0^+} f(x)=-\infty; lim_{x\to0} f(x) não existe; lim_{x\to1} f(x)=0; lim_{x\to -1} f(x)=1/e; lim_{x\to e} f(x)=1; lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty. Intervalos de continuidade: (-\infty,0) e (0,\infty).