Usando derivação, decida qual das funções abaixo corresponde a integral indefinida integral x sen x d x
f(x)=x^22 sen x+C, g(x)=-x cos x+C, h(x)=-x cos x+sen x+C

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos decidir qual das funções f(x)= tfracx^22sin x+C, g(x)= -xcos x+C ou h(x)= -xcos x+sin x+C é uma primitiva de integral xsin x,dx. O conteúdo envolve reconhecer a primitiva usando derivação e a regra do produto.

Passo 2

Derivada de f(x): aplicando a regra do produto em f(x)=tfracx^22sin x obtemos
f'(x)=ddxgl(x^22gr)sin x+x^22cos x =xsin x+x^22cos x
Como f'(x)=xsin x+tfracx^22cos x não é igual a xsin x, f não é primitiva.

Passo 3

Derivada de g(x): em g(x)=-xcos x aplicamos a regra do produto: derive -x e cos x. Então
g'(x)=-l(1cdotcos x+xcdot(-sin x)r) =-cos x+xsin x
Como g'(x)=xsin x-cos x difere de xsin x, g não é primitiva.

Passo 4

Derivada de h(x): para h(x)=-xcos x+sin x, derivamos cada termo:
h'(x)=-l(cos x - xsin xr)+cos x =-cos x+xsin x+cos x =xsin x
Aqui h'(x)=xsin x, exatamente o integrando, logo h é a primitiva desejada.

Resposta

h(x) = -x \cos x + \sin x + C

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