Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo
C(t)=-\frac{1}{t+1}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
C(t)=-\frac{1}{t+1}.
O conteúdo usado aqui é o estudo de transformações da função recíproca 1/x: identificação de domínio, assíntotas, sinal, interceptos e comportamento nos extremos.

Passo 2

Determinamos o domínio e as assíntotas.
  1. O denominador não pode ser zero, logo o domínio é
t\neq -1.
  1. Há uma assíntota vertical em
t=-1,
pois quando t\to -1^- ou t\to -1^+ a função tende a \pm\infty.
3. Como o grau do polinômio do numerador (zero) é menor que o do denominador (um), a assíntota horizontal é
C(t)=0.

Passo 3

Calculamos interceptos e sinais em cada região.
  1. Intercepto em t=0:
C(0)=-\frac{1}{0+1}=-1.
  1. Não há intercepto em C=0, pois -1/(t+1)=0 não tem solução.
  2. Sinal de C(t):
  • Para t<-1, t+1<0 e -1/(t+1)>0. Logo o ramo à esquerda de -1 está acima do eixo.
  • Para t>-1, t+1>0 e -1/(t+1)<0. Logo o ramo à direita de -1 está abaixo do eixo.

Passo 4

Analisamos o comportamento nos extremos:
  1. Quando t\to -\infty,
C(t)=-\frac{1}{t+1}\to 0^+,
aproximando-se da assíntota horizontal por cima.
2. Quando t\to +\infty,
C(t)\to 0^-,
aproximando-se da mesma assíntota por baixo.
3. Quando t\to -1^-, C(t)\to +\infty.
4. Quando t\to -1^+, C(t)\to -\infty.

Passo 5

Com tudo isso, temos dois ramos de hipérbole retangulares:
  • Um ramo para t<-1, partindo de C\to 0^+ em t\to -\infty e subindo para +\infty em t\to -1^-.
  • Outro ramo para t>-1, vindo de -\infty em t\to -1^+ e decrescendo para 0^- em t\to +\infty.
    Marque também o ponto (0,-1) e as assíntotas t=-1 (vertical) e C=0 (horizontal) para orientar o esboço.

Resposta

O gráfico de C(t)=-\tfrac{1}{t+1} é uma hipérbole com:
– assíntota vertical em t=-1,
– assíntota horizontal em C=0,
– ramo para t<-1 no quadrante superior, aproximando-se de C=0^+ e de +\infty,
– ramo para t>-1 no quadrante inferior, aproximando-se de -\infty e de 0^-,
– intercepto em (0,-1).

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