Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo usado aqui é o estudo de transformações da função recíproca
: identificação de domínio, assíntotas, sinal, interceptos e comportamento nos extremos.
Passo 2
Determinamos o domínio e as assíntotas.
- O denominador não pode ser zero, logo o domínio é
- Há uma assíntota vertical em
pois quando
ou
a função tende a
.
3. Como o grau do polinômio do numerador (zero) é menor que o do denominador (um), a assíntota horizontal é
3. Como o grau do polinômio do numerador (zero) é menor que o do denominador (um), a assíntota horizontal é
Passo 3
Calculamos interceptos e sinais em cada região.
- Intercepto em
:
- Não há intercepto em
, pois não tem solução. - Sinal de
:
- Para
, e . Logo o ramo à esquerda de está acima do eixo. - Para
, e . Logo o ramo à direita de está abaixo do eixo.
Passo 4
Analisamos o comportamento nos extremos:
- Quando
,
aproximando-se da assíntota horizontal por cima.
2. Quando ,
2. Quando
aproximando-se da mesma assíntota por baixo.
3. Quando ,
.
4. Quando ,
.
3. Quando
4. Quando
Passo 5
Com tudo isso, temos dois ramos de hipérbole retangulares:
- Um ramo para
, partindo de em e subindo para em . - Outro ramo para
, vindo de em e decrescendo para em .
Marque também o pontoe as assíntotas (vertical) e (horizontal) para orientar o esboço.
Resposta
O gráfico de
é uma hipérbole com:
– assíntota vertical em ,
– assíntota horizontal em ,
– ramo para no quadrante superior, aproximando-se de
e de
,
– ramo para no quadrante inferior, aproximando-se de
e de
,
– intercepto em .
– assíntota vertical em
– assíntota horizontal em
– ramo para
– ramo para
– intercepto em